Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

При получим числовой положительный ряд . Это ряд Дирихле с . Известно, что если , то ряд расходится. Значит, функциональный ряд в точке расходится.

При получим числовой знакочередующийся ряд вида . Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е. и : .

Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид и является расходящимся.

Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.

Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале .

Ответ: .

Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.

Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

Если , т.е. то функциональный ряд сходится абсолютно на интервале .

Если , т.е. , то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.

При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом , так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. .

Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.

Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумму ряда будем определять по формуле:

.

При сумма ряда .

Образование, педагогика, воспитание:

Связь показателей эмоционально-волевых свойств с успешностью обучения
В литературе имеются данные, характеризующие взаимосвязь успешного овладения знаниями детьми с теми или иными чертами незрелости их эмоционально-волевой сферы. Так, дети с астеническими, т.е. пассивными или угнетенными состояниями, которых много среди неуспевающих школьников, при выполнении заданий ...

Классификация, виды и типы средств наглядности при обучении истории
При словесном описании на уроках истории событий и явлений прошлого в подавляющем числе случаев не имеется возможности опереться на непосредственное наблюдение учащимися предметов описания или повествования потому, что это явление уже прошедшее, недоступное живому, непосредственному восприятию обуч ...

Возможные формы организации профильного обучения
Возможно, что школа или сеть школ будут реализовывать не только содержание выбранного профиля, но и предоставлять учащимся возможность осваивать интересное и важное для каждого из них содержание из других профильных курсов. Такая возможность может быть реализована как посредством разнообразных форм ...