При получим числовой положительный ряд
. Это ряд Дирихле с
. Известно, что если
, то ряд
расходится. Значит, функциональный ряд
в точке
расходится.
При получим числовой знакочередующийся ряд вида
. Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е.
и
:
.
Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид
и является расходящимся.
Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.
Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале
.
Ответ: .
Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.
Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).
Найти сумму ряда:
.
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:
.
Если , т.е.
то функциональный ряд
сходится абсолютно на интервале
.
Если , т.е.
, то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.
При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом
, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е.
.
Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал
.
Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.
Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с
. Сумму ряда будем определять по формуле:
.
При сумма ряда
.
Образование, педагогика, воспитание:
Поиск и отбор натуры. Работа над эскизами. Использование оригинальных и
традиционных приемов графики в процессе выполнения работы
Вопрос о технике и материале, в котором будет выполнена практическая часть дипломной работы, не стоял. Было решено, что работы должны быть выполнены в графике, карандашом и на бумаге. Выбор темы тоже был недолгим. Так как Архитектурные памятники Уфы поражают и завораживают. Когда тематика практичес ...
Игры и упражнения для развития речи и ознакомления с окружающим
Для успешного развития детей важно, чтобы они с детства приобрели жизненно необходимые сведения об окружающих их предметах и явлениях. На втором году жизни, когда дети свободно передвигаются, они постоянно сталкиваются с различными предметами, им нужно иметь некоторые представления о свойствах и на ...
Содержание элективных курсов по математике
Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержан ...