Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

При получим числовой положительный ряд . Это ряд Дирихле с . Известно, что если , то ряд расходится. Значит, функциональный ряд в точке расходится.

При получим числовой знакочередующийся ряд вида . Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е. и : .

Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид и является расходящимся.

Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.

Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале .

Ответ: .

Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.

Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

Если , т.е. то функциональный ряд сходится абсолютно на интервале .

Если , т.е. , то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.

При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом , так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. .

Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.

Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумму ряда будем определять по формуле:

.

При сумма ряда .

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие и структура имиджа современного учителя
Термин "имидж" широко трактуется, но надо отметить, что до сих пор нет однозначного его толкования. Так физический имидж – это здоровье, стиль одежды, прически и макияжа. Психологический имидж - характер, темперамент, внутренний мир. Социальный имидж - роль в обществе, поведение и коммуни ...

Система методов проблемно-развивающего обучения
В этой системе методы обучения группируются по нескольким основаниям: по уровню проблемности; по видам деятельности учителя (методы изложения преподавателя - монологическое, показательное, диалогическое; методы организации самостоятельной учебной деятельности учащихся - эвристический, исследователь ...

Игры, развивающие речевое дыхание
Хорошо поставленное речевое дыхание обеспечивает правильное произношение звуков, слов и фраз. Для того чтобы научиться выговаривать многие звуки, ребенок должен делать достаточно сильный вдох через рот. Ниже приведены упражнения, в которых ребенку в игровой форме предлагается подуть на различные пр ...