При получим числовой положительный ряд
. Это ряд Дирихле с
. Известно, что если
, то ряд
расходится. Значит, функциональный ряд
в точке
расходится.
При получим числовой знакочередующийся ряд вида
. Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е.
и
:
.
Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид
и является расходящимся.
Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.
Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале
.
Ответ: .
Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.
Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).
Найти сумму ряда:
.
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:
.
Если , т.е.
то функциональный ряд
сходится абсолютно на интервале
.
Если , т.е.
, то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.
При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом
, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е.
.
Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал
.
Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.
Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с
. Сумму ряда будем определять по формуле:
.
При сумма ряда
.
Образование, педагогика, воспитание:
Главные задачи и основы содержания уроков чтения
Уроки чтения являются действенным средством нравственного, эстетического и экологического воспитания умственно отсталых учащихся. Именно на этих занятиях дети начинают осознавать красоту родной природы, знакомятся с историей России, с различными поступками взрослых и детей, учатся давать им оценку. ...
Значение семейного физического воспитания в формировании здорового смысла
Здоровый образ жизни - это образ жизни, основанный на принципах нравственности, рационально организованный, активный, трудовой, закаливающий. В то же время, защищающий от неблагоприятных воздействий окружающей среды, позволяющий до глубокой старости сохранять нравственное, психическое и физическое ...
История отечественной педагогики XX века: единство непрерывности и дискретности
В последние двадцать лет существенным образом пересмотрена, уточнена и дополнена трактовка процесса развития отечественной педагогики XX в. Такой результат стал возможен благодаря той серьезной и продуктивной исследовательской работе, которая была проведена отечественными историками образования за ...