Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, сумма функционального ряда при равна .

Ответ: При .

Пример №9 (№16 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

В соответствии с признаком Даламбера, если , т.е. или , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При получается числовой положительный ряд . Он расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд в точке расходится.

При получается числовой знакочередующийся ряд вида . Он расходится, так как не удовлетворяет условиям признака Лейбница: а) ; б) . Значит, в точке функциональный ряд расходится.

Следовательно, областью сходимости заданного функционального ряда является интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости. Если , то ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумма ряда на интервале будет определяться по формуле

Ответ: При .

В конце занятия подводятся итоги. Преподавателю целесообразно предложить студентам описать алгоритмы выполнения заданий каждого рассмотренного типа, особенности заданий каждого типа, их взаимосвязь. Ниже приведены алгоритмы выполнения рассмотренных заданий.

Исследование ряда на сходимость в точке

Вместо переменной в функциональный ряд подставляется ее значение.

Исследуется полученный числовой ряд на сходимость с помощью признаков сходимости числовых рядов.

Формулируется вывод о сходимости исследуемого функционального ряда в заданной точке.

Определение области сходимости функционального ряда

Определение интервала сходимости функционального ряда (ряд исследуется на всей числовой прямой).

Исследование ряда на сходимость на концах интервала сходимости (сходимость функционального ряда в точке).

Образование, педагогика, воспитание:

Процесс развития познавательной деятельности учащихся
Развитие учащихся - многомерный процесс, который зависит от особенностей их нервной системы, индивидуальных особенностей, воспитания. Поэтому показателей, по которым можно судить об уровне развития учащихся, несколько. Важнейшее из них – качество знаний и умение использовать их в новых учебных ситу ...

Методологические основы эмпирического исследования специфики профессионального взаимодействия социального педагога с семьей
Исследование проводилось в период с октября 2009г. по апрель 2010 г. на базе социально-реабилитационного центра для несовершеннолетних г. Курска. В исследовании приняло участие 23 семьи (общее количество человек 69 человек). В исследовании использовались следующие методики. 1. Методика диагностики ...

Урок истории в практике школы
В данной главе рассматривается современный урок истории на практике. Здесь изложены наблюдения и применяемые автором на практике, основные составляющие принципы и теоретические основы современного урока истории. В предыдущей главе рассматривались основные теоретические положения современного урока ...