Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, сумма функционального ряда при равна .

Ответ: При .

Пример №9 (№16 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

В соответствии с признаком Даламбера, если , т.е. или , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При получается числовой положительный ряд . Он расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд в точке расходится.

При получается числовой знакочередующийся ряд вида . Он расходится, так как не удовлетворяет условиям признака Лейбница: а) ; б) . Значит, в точке функциональный ряд расходится.

Следовательно, областью сходимости заданного функционального ряда является интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости. Если , то ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумма ряда на интервале будет определяться по формуле

Ответ: При .

В конце занятия подводятся итоги. Преподавателю целесообразно предложить студентам описать алгоритмы выполнения заданий каждого рассмотренного типа, особенности заданий каждого типа, их взаимосвязь. Ниже приведены алгоритмы выполнения рассмотренных заданий.

Исследование ряда на сходимость в точке

Вместо переменной в функциональный ряд подставляется ее значение.

Исследуется полученный числовой ряд на сходимость с помощью признаков сходимости числовых рядов.

Формулируется вывод о сходимости исследуемого функционального ряда в заданной точке.

Определение области сходимости функционального ряда

Определение интервала сходимости функционального ряда (ряд исследуется на всей числовой прямой).

Исследование ряда на сходимость на концах интервала сходимости (сходимость функционального ряда в точке).

Образование, педагогика, воспитание:

Коммуникативно-прагматические составляющие межкультурной компетенции
К числу значимых тенденций, особенно характерных для современной эпохи, относится тенденция к глобализации. Для большинства людей глобальность – не состояние, а потенциал. В начале XXI в. человечество существует не в мировом обществе без границ, но во множестве параллельных, пересекающихся реальнос ...

Этапы формирования грамматического строя речи у детей. Основные трудности и ошибки
Усвоение речи ребенком - это сложный процесс, который в своем развитии проходит ряд стадий: от зачаточного, аморфного использования отдельных языковых явлений до полного овладения языковыми нормами. Первой стадией в усвоении речи является развитие у ребенка понимания обращенной речи (пассивная речь ...

Формирование оптимальной двигательной активности в старшем дошкольном возрасте
Старший дошкольный возраст является наиболее важным периодом для формирования двигательной активности. Дети 5- 7 лет обладают богатым творческим воображением и стремятся удовлетворить свою биологическую потребность в движениях. Это позволяет им овладеть сложным программным материалом по развитию дв ...