Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, сумма функционального ряда при равна .

Ответ: При .

Пример №9 (№16 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

В соответствии с признаком Даламбера, если , т.е. или , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При получается числовой положительный ряд . Он расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд в точке расходится.

При получается числовой знакочередующийся ряд вида . Он расходится, так как не удовлетворяет условиям признака Лейбница: а) ; б) . Значит, в точке функциональный ряд расходится.

Следовательно, областью сходимости заданного функционального ряда является интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости. Если , то ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумма ряда на интервале будет определяться по формуле

Ответ: При .

В конце занятия подводятся итоги. Преподавателю целесообразно предложить студентам описать алгоритмы выполнения заданий каждого рассмотренного типа, особенности заданий каждого типа, их взаимосвязь. Ниже приведены алгоритмы выполнения рассмотренных заданий.

Исследование ряда на сходимость в точке

Вместо переменной в функциональный ряд подставляется ее значение.

Исследуется полученный числовой ряд на сходимость с помощью признаков сходимости числовых рядов.

Формулируется вывод о сходимости исследуемого функционального ряда в заданной точке.

Определение области сходимости функционального ряда

Определение интервала сходимости функционального ряда (ряд исследуется на всей числовой прямой).

Исследование ряда на сходимость на концах интервала сходимости (сходимость функционального ряда в точке).

Образование, педагогика, воспитание:

Особенности развития речи детей с фонетико-фонематическим недоразвитием
Психолого-педагогический подход к анализу речевых нарушений является приоритетным направлением отечественной логопедии. В рамках этого направления анализируется развитие языка у детей с речевыми нарушениями. Проведенный в 60-х годах лингвистический анализ речевых нарушений у детей, страдающих разны ...

Характеристика задач музыкального образования и проблема оценки результатов
Основными задачами музыкального воспитания являются следующие (Радынова О.П.): развивать музыкальные и творческие способности детей с учетом возможностей каждого ребенка с помощью различных видов музыкальной деятельности; сформировать начала музыкальной культуры, способствовать формированию общей д ...

Разработка урока по истории средних веков с использованием наглядного метода обучения
Тема урока: Открытие Америки и морского пути в Индию. Цель урока: познакомить учащихся с причинами Великих географических открытий, их ходом, итогами и значением. Задачи: 1. Образовательная: Изучить экспедицию Ф. Магеллана, Васко да Гамы, Хр. Колумба. 2. Развивающая: развивать умение работы с текст ...