Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, сумма функционального ряда при равна .

Ответ: При .

Пример №9 (№16 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

В соответствии с признаком Даламбера, если , т.е. или , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При получается числовой положительный ряд . Он расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд в точке расходится.

При получается числовой знакочередующийся ряд вида . Он расходится, так как не удовлетворяет условиям признака Лейбница: а) ; б) . Значит, в точке функциональный ряд расходится.

Следовательно, областью сходимости заданного функционального ряда является интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости. Если , то ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумма ряда на интервале будет определяться по формуле

Ответ: При .

В конце занятия подводятся итоги. Преподавателю целесообразно предложить студентам описать алгоритмы выполнения заданий каждого рассмотренного типа, особенности заданий каждого типа, их взаимосвязь. Ниже приведены алгоритмы выполнения рассмотренных заданий.

Исследование ряда на сходимость в точке

Вместо переменной в функциональный ряд подставляется ее значение.

Исследуется полученный числовой ряд на сходимость с помощью признаков сходимости числовых рядов.

Формулируется вывод о сходимости исследуемого функционального ряда в заданной точке.

Определение области сходимости функционального ряда

Определение интервала сходимости функционального ряда (ряд исследуется на всей числовой прямой).

Исследование ряда на сходимость на концах интервала сходимости (сходимость функционального ряда в точке).

Образование, педагогика, воспитание:

Оборудование площадок и инвентарь для игры в хоккей
Для организации игры в хоккей необходимо соответствующее оборудование площадок и инвентарь. О катке нужно позаботится заранее, еще до первых морозов. Площадку необходимо очистить от мусора и выровнять, чтобы при заливке она была ровной и гладкой. Как только ударят морозы, можно заливать каток. Разм ...

Значение обучения неслышащих детей устной речи
Определяя задачи обучения неслышащих детей произношению, прежде всего, следует напомнить о двоякой функции устной речи, которая, одной стороной, обращена к слушающему, а другой — к самому говорящему. От качества фонетического оформления речи глухого зависит (при прочих равных условиях) в какой степ ...

Психологическая характеристика возрастных особенностей учащихся 7 классов
Учащихся 7 классов можно отнести к подростковому возрасту. «Этот возраст обычно характеризуют как переломный, переходный, критический, но чаще как возраст полового созревания». Л.С. Выготский различал три точки созревания: органического, полового и социального. У человека в истории развития обществ ...