Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Найдем общий элемент заданного функционального ряда:

Исследуемый функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при , где , .

Значит, область сходимости исходного функционального ряда: .

Проверим сходимость исходного функционального ряда при и .

Если , то получим - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. .

Если , то получим - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. .

Итак, область абсолютной сходимости исходного функционального ряда - .

II способ.

Определим и заданного ряда: , .

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можно записать:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

Исследуем на сходимость исходный функциональный ряд при и .

Если , то получим - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.

Если , то получим - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. .

Ответ: область абсолютной сходимости исходного функционального ряда - .

Пример №4 (№339 из, с комментариями преподавателя).

Найти область сходимости функционального ряда:

.

Решение

Найдем общий элемент заданного функционального ряда . Если , то ; Так как , то ряд расходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Методика сенсорного воспитания детей младшего дошкольного возраста
В детском саду ребенок обучается рисованию, лепке, конструированию, знакомится с явлениями природы, начинает осваивать основы математики и грамоты. Овладение знаниями и умениями во всех этих областях требует постоянного внимания к внешним и внутренним свойствам предметов. Так, для того чтобы получи ...

Психофизиологические особенности детей старшего дошкольного возраста с задержкой психического развития
Рост требований к личности ребенка, среди которых ранние сроки начала обучения, усложнение образовательных программ определяют необходимость своевременного выявления пограничных состояний интеллектуальной недостаточности современных дошкольников. Задержка психического развития у детей чаще всего об ...

История развития акварельной живописи
Акварель – одна из самых сложных и загадочных техник. Секрет ее, на первый взгляд, достаточно прост: растворенные в воде очень мелко растертые частицы пигмента создают прозрачный красочный слой, проницаемый для световых лучей, которые, отражаясь от белой поверхности бумаги, повышает интенсивность з ...