Найдем общий элемент заданного функционального ряда:
Исследуемый функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при
, где
,
.
Значит, область сходимости исходного функционального ряда: .
Проверим сходимость исходного функционального ряда при и
.
Если , то получим
- числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
.
Если , то получим
- числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
.
Итак, область абсолютной сходимости исходного функционального ряда - .
II способ.
Определим и
заданного ряда:
,
.
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можно записать:
.
Если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
Исследуем на сходимость исходный функциональный ряд при и
.
Если , то получим
- числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
Если , то получим
- числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
.
Ответ: область абсолютной сходимости исходного функционального ряда - .
Пример №4 (№339 из, с комментариями преподавателя).
Найти область сходимости функционального ряда:
.
Решение
Найдем общий элемент заданного функционального ряда . Если
, то
; Так как
, то ряд расходится.
Образование, педагогика, воспитание:
Система образования Канады
Канада относится к числу государств, дипломы которых котируются во всем мире. Это неудивительно: Канада расходует на развитие системы образования больше средств, чем многие другие развитые страны. Канада является одним из мировых лидеров в области высоких технологий, аэрокосмической индустрии, микр ...
Особенности проявления интереса дошкольников к познавательной книге
математического содержания и рабочим тетрадям
Интерес детей к познавательной книге изменяется на протяжении всего дошкольного периода. Он зависит от развития восприятия и накопления опыта рассматривания иллюстраций и слушания литературных сюжетов. В данном аспекте исследования в области восприятия дошкольниками литературы (А. В. Запорожец, С. ...
Понятие и структура имиджа современного учителя
Термин "имидж" широко трактуется, но надо отметить, что до сих пор нет однозначного его толкования. Так физический имидж – это здоровье, стиль одежды, прически и макияжа. Психологический имидж - характер, темперамент, внутренний мир. Социальный имидж - роль в обществе, поведение и коммуни ...