Если , то получается числовой положительный ряд вида
. Он является расходящимся, так как
, следовательно,
.
Если , то элементы исходного функционального ряда меньше членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
. Для убывающей геометрической прогрессии
,
,
при
.
Значит, ряд сходится при
.
Следовательно, будет сходиться при и заданный функциональный ряд, т.е. областью сходимости является объединение интервалов -
.
Ответ: Область сходимости заданного функционального ряда - .
Первичное закрепление материала происходит при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным с преподавателем, к доске вызываются сразу 3-4 студента.
Пример №5 (№2 из, студент у доски с помощью преподавателя).
Найти область сходимости функционального ряда:
Решение
Определим формулу общего элемента заданного функционального ряда N.
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:
В соответствии с признаком Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда, если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
При , т.е.
, исследуемый функциональный ряд расходится.
При x=3 функциональный ряд становится положительным числовым рядом вида . Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом
.
При х=-3 функциональный ряд становится знакочередующимся числовым рядом вида: .
По признаку Лейбница: а) ; б)
, так как
.
Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда . Получим ряд
- это гармонический расходящийся ряд.
Значит, исходный функциональный ряд сходится абсолютно на интервале , а сходится условно на полуотрезке
.
Образование, педагогика, воспитание:
Обучение дошкольников началам математики
Развитие элементарных математических представлений у дошкольников – особая область познания, в которой при условии последовательного обучения можно целенаправленно формировать абстрактное логическое мышление, повышать интеллектуальный уровень. В условиях систематического обучения ребенок может выде ...
Формирование культурно-гигиенических навыков у младших
дошкольников
Культурно-гигиенические навыки – важная составная часть культуры поведения. Необходимость опрятности, содержания в чистоте лица, рук, тела, одежды, обуви продиктованная не только требованиями гигиены, но и нормами человеческих отношений. С первых дней жизни при формировании культурно-гигиенических ...
Анализ профессионального образа педагога на примере средней общеобразовательной
школы
Учитывая, что не каждый педагог целенаправленно задумывается о формировании собственного профессионального имиджа, следует при исследовании акцентировать внимание педагогов на определенные высказывания, касающихся восприятия учащимися некоторых характеристик личности педагога. Суждения, представлен ...