Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Условия формирования семейного физического воспитания
Правильно организованное физическое воспитание в семье, выступая как условие и фундамент психофизического благополучия ребенка, в свою очередь зависит от ряда объективных и субъективных условий. В науке и практике физического воспитания выделены условия, обязательное соблюдение которых обеспечивает ...

Роль устной речи в жизнедеятельности человека
Лингвистика рассматривает такое явление как язык в двух аспектах — язык и речь. При рассмотрении языка имеется ввиду определенная система, которая находится вне человека и осуществляется независимо от него. Говоря о речи, имеется ввиду речевая деятельность. С точки зрения психологии (А.А. Леонтьев, ...

Обучение в Австралии
Австралия в последние десятилетия вошла в число лидеров международного образовательного рынка. Обучение на «зеленом континенте» имеет много плюсов: английский в качестве государственного языка, высокий уровень жизни, возможность круглый год наслаждаться всеми прелестями теплого климата. Поэтому в э ...