Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Психолингвистические требования к методике обучения английскому языку как второму иностранному
Введение второго иностранного языка в школе означает, что образование становится многоязычным: родной язык, первый иностранный, второй иностранный образуют уникальное лингвистическое явление - триглоссию. Вместе с тем, поскольку обучение любому языку неразрывно связано с культурой страны изучаемого ...

Задачи и содержание словарной работы
Методика словарной работы в начальной школе предусматривает следующие направления: 1) обогащение словаря, т. е. усвоение новых, ранее неизвестных учащимся слов. Причем установлено, что ежедневно учащийся должен прибавлять к своему словарю на уроках родного языка 4— 6 слов; 2) уточнение словаря, т. ...

Характеристика задач музыкального образования и проблема оценки результатов
Основными задачами музыкального воспитания являются следующие (Радынова О.П.): развивать музыкальные и творческие способности детей с учетом возможностей каждого ребенка с помощью различных видов музыкальной деятельности; сформировать начала музыкальной культуры, способствовать формированию общей д ...