Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Дидактическая игра как основной метод воспитания сенсорной культуры детей младшего дошкольного возраста
Могучим средством воспитания детей младшего дошкольного возраста является дидактическая игра и упражнения. Недаром этот возраст называют возрастом игры. Народная мудрость создала дидактическую игру, которая является для ребенка младшего дошкольного возраста наиболее подходящей формой обучения. Игра ...

Пассивные методы обучения на уроках информатики
Пассивный метод – это форма взаимодействия учащихся и учителя, в которой учитель является основным действующим лицом и управляющим ходом урока, а учащиеся выступают в роли пассивных слушателей, подчиненных директивам учителя. Связь учителя с учащимися в пассивных уроках осуществляется посредством о ...

Внедрение системы работы по обучению игре в хоккей детей подготовительной группы
Цель: формирование у детей подготовительной группы навыков игры в хоккей, предусмотренных примерной основной общеобразовательной программе дошкольного образования "Детство", развитие быстроты, формирование интереса к играм и упражнениям к элементам хоккея. Согласно примерной основной обще ...