Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.
Определим сходимость ряда в точках и
.
Если , то ряд примет вид
- числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке
.
Если , то ряд примет вид
- числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке
.
Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ:
.
Пример №14 (№15 из [10]).
Найти сумму ряда
.
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:
.
Если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.
Если , т.е.
, исследуемый функциональный ряд расходится.
При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, в точке
исследуемый функциональный ряд расходится.
При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а)
; б)
. Значит, функциональный ряд в точке
расходится. Значит,
- область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.
На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:
, где
.
Тогда, при
.
Ответ: при
.
Образование, педагогика, воспитание:
Техническое оснащение в современной школе
Доска в образовании не просто инструмент для демонстрации, но и обучения, она породила специальную систему коммуникации, прямую и обратную связь - один учитель может работать с несколькими учениками. Доска это особое - познавательное - окно в мир. Но со временем он стал привычен и должен был преобр ...
Методика профессионального обучения. Понятия профессии
Методика – это совокупность методов для достижения какой-либо образовательной цели. МПО – дисциплина, которая занимается вопросами отбора содержания, выбора методов, средств, организационных форм в соответствии с дидактическими принципами и относиться к психолого-педагогическому циклу. Методики под ...
Использование ТСО на лекционных занятиях
Среди разнообразных методов и средств совершенствования процесса обучения в высшей школе, а также интенсификации и повышения эффективности учебной деятельности важное место отводится использованию технических средств обучения (ТСО). ТСО - это совокупность технических устройств и дидактических матер ...