Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на интервале .

Пример №21 (№164 из [8], студент самостоятельно у доски).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на интервале .

Решение

Если , то - условие равномерной сходимости не выполняется.

Если , то . Ряд мажорантный по отношению к ряду . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: . Так как , то числовой ряд сходится. Значит, по теореме Вейерштрасса равномерно сходимости функциональных рядов, так как при , ряд сходится равномерно и абсолютно.

Ответ: Равномерно и абсолютно сходится при .

Преподаватель: Доказательство равномерной сходимости может быть и вспомогательной задачей, которую необходимо решить, чтобы выполнить основное задание.

Пример №22 (№94 из [10], с комментариями преподавателя).

Показать, что на луче функциональный ряд

равномерно сходится. Начиная с какого номера , остаток ряда (независимо от значения ) удовлетворяет неравенству ?.

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса.

Так как при справедливо неравенство: , то элементы заданного функционального ряда на указанном промежутке не больше соответствующих членов положительного числового ряда , т.е. при .

Числовой положительный ряд сходится, так как представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с

, , .

Значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Для оценки остатка заданного функционального ряда подсчитаем остаток числового положительного (мажорантного) ряда:

, где .

Образование, педагогика, воспитание:

Особенности речи детей младшего школьного возраста по сравнению с нормально развивающимися сверстниками
В младшем школьном возрасте у детей с легкой степени умственной отсталости отмечается недоразвитие речи, которое характеризуется нарушением всех ее сторон: смысловой, грамматической, звуковой, а также ограниченностью и бедностью словаря. Произносительная сторона речи Недоразвитие речи прежде всего ...

Содержание обучения английскому языку как второму иностранному
Проблема родного языка неизменно возникает всякий раз при разработке методов обучения иностранному языку. Сложность этой проблемы нашла свое отражение в таких методических принципах обучения, как опора на родной язык, его учет или исключение из учебного процесса. Все речевые механизмы учащихся сфор ...

Теоретические основы формирования представлений о домашних животных у детей раннего возраста средствами дидактической игры
Свою работу мы начали с анализа психолого-педагогической литературы. Проблеме формирования экологических представлений у детей дошкольного возраста посвящены труды ряда известных педагогов, ученых. В свете их взглядов мы рассмотрим проблему экологического воспитания, его влияние на становление личн ...