Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на интервале .
Пример №21 (№164 из [8], студент самостоятельно у доски).
Исследовать на равномерную сходимость ряд на интервале
.
Решение
Если , то
- условие равномерной сходимости не выполняется.
Если , то
. Ряд
мажорантный по отношению к ряду
. По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем:
. Так как
, то числовой ряд сходится. Значит, по теореме Вейерштрасса равномерно сходимости функциональных рядов, так как
при
, ряд
сходится равномерно и абсолютно.
Ответ: Равномерно и абсолютно сходится при .
Преподаватель: Доказательство равномерной сходимости может быть и вспомогательной задачей, которую необходимо решить, чтобы выполнить основное задание.
Пример №22 (№94 из [10], с комментариями преподавателя).
Показать, что на луче функциональный ряд
равномерно сходится. Начиная с какого номера , остаток ряда
(независимо от значения
) удовлетворяет неравенству
?.
Решение
Воспользуемся признаком Вейерштрасса.
Так как при справедливо неравенство:
, то элементы заданного функционального ряда на указанном промежутке не больше соответствующих членов положительного числового ряда
, т.е.
при
.
Числовой положительный ряд сходится, так как представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с
,
,
.
Значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
.
Для оценки остатка заданного функционального ряда подсчитаем остаток
числового положительного (мажорантного) ряда:
, где
.
Образование, педагогика, воспитание:
Особенности работы на пленере
Любая картина начинается с идеи, с замысла. Художник наблюдает разные состояния природы, делает зарисовки и этюды на пленере. Важность работы на пленере невозможно переоценить. Этюды и рисунки с натуры были обязательной частью подготовки художников прошлых веков. Е.И Репин и Ф.А. Васильев видели в ...
Определение роли социального педагога с детьми с ограниченными
возможностями в специальной образовательной школе – интернат VIII вида
Цель: проанализировать направления деятельности социального педагога в специальной (коррекционной) образовательной школе – интернат VIII вида; Для реализации цели, формулируем следующие задачи: 1. Выделить направления деятельности социального педагога; 2. Разработать критерий для оценки результатив ...
Содержание
учебного материала по теме: “Функциональные ряды”
Содержание лекционных занятий Основные понятия (функциональная последовательность, функциональный ряд, область сходимости функционального ряда, предельная функция, равномерно сходящиеся функциональные последовательность и ряд, мажорантный ряд); Критерий Коши равномерной сходимости функциональной по ...