Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Решение

Так как , то при .

Ряд - мажорантный, исследуем его на сходимость. По признаку Даламбера имеем:

.

Так как , то ряд сходится. По теореме Вейерштрасса, так как для R , то заданный ряд сходится равномерно и абсолютно на промежутке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на интервале .

Пример №26 (№354 из [7]).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов. Так как при любом , то справедливо неравенство , при R. - сходящийся ряд Дирихле с . Значит, и ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Пример №27 (№76 из [10])

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке

Решение

Так как при , и ряд - сходящийся ряд Дирихле с , то, по признаку Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Пример №28 (№82 из [10]).

Сходится ли равномерно ряд , если ?

Решение

Если , то . Так как -сходящийся числовой положительный ряд - ряд Дирихле с , то по теореме Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Образование, педагогика, воспитание:

Урочные формы внеклассной работы
Прогулки, экскурсии и походы имеют большое образовательное и воспитательное значение, поскольку дети знакомятся с природой, родным краем и его достопримечательностями. Эти мероприятия содействуют совершенствованию навыков в ходьбе, беге и играх, закаляют организм и укрепляют здоровье детей, способс ...

Личностно-ориентированный урок: технология проведения
Урок – основной элемент образовательного процесса, но в системе личностно-ориентированного обучения меняется его функция, форма организации. Личностно ориентированный урок в отличие от традиционного в первую очередь изменяет тип взаимодействия «учитель-ученик». От командного стиля педагог переходит ...

Дидактические игры на уроках русского языка и чтения в специальной школе VIII вида
Одним из эффективных средств развития интереса к учебному предмету является использование на уроках дидактических игр и занимательного материала, что способствует созданию у учеников эмоционального настроя, вызывает положительное отношение к выполняемой работе, улучшает общую работоспособность, дае ...