Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Решение

Так как , то при .

Ряд - мажорантный, исследуем его на сходимость. По признаку Даламбера имеем:

.

Так как , то ряд сходится. По теореме Вейерштрасса, так как для R , то заданный ряд сходится равномерно и абсолютно на промежутке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на интервале .

Пример №26 (№354 из [7]).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов. Так как при любом , то справедливо неравенство , при R. - сходящийся ряд Дирихле с . Значит, и ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Пример №27 (№76 из [10])

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке

Решение

Так как при , и ряд - сходящийся ряд Дирихле с , то, по признаку Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Пример №28 (№82 из [10]).

Сходится ли равномерно ряд , если ?

Решение

Если , то . Так как -сходящийся числовой положительный ряд - ряд Дирихле с , то по теореме Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Образование, педагогика, воспитание:

Структура педагогической деятельности
Педагогическая деятельность имеет те же характеристики, что и любой другой вид человеческой деятельности. Это прежде всего целеположенность, мотивированность, предметность. Специфической характеристикой педагогической деятельности, по Н.В. Кузьминой, является ее продуктивность. Различают пять уровн ...

Проведение пальчиковых игр
Обязательно посмотрите хотя бы на одну маму или бабушку, которая «исполняет» игру так, что детям нравится. Имеет значение-многое: темп, тембр голоса, выражение лица, громкость, положение тела, а не только пальцев. Помогать ли пальчикам? Это непременно нужно делать, если вы занимаетесь с младенцем, ...

Игры с пальчиками
Пальчиковые игры побуждают малышей к творчеству и в том случае, когда ребенок придумывает к текстам свои, пусть даже не очень удачные движения, его следует хвалить и, если возможно, показать свои творческие достижения, например, папе или бабушке. Наибольшее внимание ребенка привлекают пальчиковые и ...