Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Решение

Так как , то при .

Ряд - мажорантный, исследуем его на сходимость. По признаку Даламбера имеем:

.

Так как , то ряд сходится. По теореме Вейерштрасса, так как для R , то заданный ряд сходится равномерно и абсолютно на промежутке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на интервале .

Пример №26 (№354 из [7]).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов. Так как при любом , то справедливо неравенство , при R. - сходящийся ряд Дирихле с . Значит, и ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Пример №27 (№76 из [10])

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке

Решение

Так как при , и ряд - сходящийся ряд Дирихле с , то, по признаку Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Пример №28 (№82 из [10]).

Сходится ли равномерно ряд , если ?

Решение

Если , то . Так как -сходящийся числовой положительный ряд - ряд Дирихле с , то по теореме Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Образование, педагогика, воспитание:

Подготовка и проведение учебно-воспитательного занятия с применением видеометода
При подготовке к уроку или внеклассному мероприятию, на котором будут применяться технические средства обучения необходимо, прежде всего, ознакомиться с 1) санитарно-гигиеническими требованиями к организации учебно-воспитательного процесса с использованием в нём электронной техники, и 2) действующе ...

Реализация технологии физического воспитания в работе с детьми 5–6 лет с задержкой психического развития
В РФ действуют специальные образовательные учреждения I-VШ видов. Для обучения и воспитания детей с ЗПР организуются учреждения VII вида: детский сад компенсирующего вида с приоритетным осуществлением квалифицированной коррекции в физическом и психическом развитии воспитанников; детский сад комбини ...

Структура проблемного урока
Проблемным называется урок, на котором преподаватель целенаправленно создаёт ситуации для поисковой деятельности студентов при приобретении и закреплении новых знаний и способов действий. Особенностью проблемного урока является то, что повторение пройденного материала в большинстве случаев сливаетс ...