Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Решение

Так как , то при .

Ряд - мажорантный, исследуем его на сходимость. По признаку Даламбера имеем:

.

Так как , то ряд сходится. По теореме Вейерштрасса, так как для R , то заданный ряд сходится равномерно и абсолютно на промежутке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на интервале .

Пример №26 (№354 из [7]).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов. Так как при любом , то справедливо неравенство , при R. - сходящийся ряд Дирихле с . Значит, и ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Пример №27 (№76 из [10])

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке

Решение

Так как при , и ряд - сходящийся ряд Дирихле с , то, по признаку Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Пример №28 (№82 из [10]).

Сходится ли равномерно ряд , если ?

Решение

Если , то . Так как -сходящийся числовой положительный ряд - ряд Дирихле с , то по теореме Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Образование, педагогика, воспитание:

Компоненты и развитие профессионального самопределения
Профессиональное развитие человека в целом онтогенетически связано с основными видами его деятельности, соответствующими возрастным периодам. Возрастное развитие человека как субъекта труда Е.А. Климов представляет в виде трех периодов, в каждом из которых выделяет и характеризует стадии развития п ...

Психологические и психофизиологические особенности младших школьников
Тенденции развития психологических свойств такова: от большей слабости и инертности нервной системы в раннем возрасте к увеличению ее выносливости и подвижности по мере взросления. Это означает, что младшие школьники, особенно первоклассники, быстро достигают предела работоспособности, в очень мало ...

Учебный комплект по русскому языку авторов Р.Н. Бунеева, Е.В. Бунеевой, О.В. Прониной
Начиная с 1997 года, в практику школьного преподавания русского языка в начальных классах вошел учебный комплекс авторов Р.Н. Бунеева, Е.В. Бунеевой, О.В. Прониной. В "Пояснительной записке" программы определена основная цель курса - " развитие личности ребенка на основе формирования ...