Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.
Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)
Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.
Решение
Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при
R.
Очевидно неравенство при
R,
N.
Сравним функциональный и числовой ряды и
.
При R,
N справедливо неравенство
.
Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с
.
Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
R.
Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при
R.
Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :
.
Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.
Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при
R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как
a) для
R,
N;
б) при
R;
в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с
).
Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.
Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).
Законно ли применение к ряду
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?
Решение
Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.
Образование, педагогика, воспитание:
Современные психологические подходы в исследовании ИС
Психологами давно отмечались индивидуальные особенности в способах осуществления познавательных процессов и поведенческих актов. Такие различия рассматриваются в качестве оснований для более или менее развернутых классификаций типов людей. Развивая представления И.П. Павлова о типах нервной системы ...
Психологические факторы тестовых заданий
Тестовые задания можно рассматривать как разновидность сообщений или текстов, адресованных учащимся с определенной целью. Цель этих сообщений состоит в том, чтобы проверить и оценить их знания по соответствующим разделам учебного материала. Но вначале эти сообщения должны быть правильно (адекватно) ...
Проблемы социализации детей в педагогике и психологии
Социальная психология понимает социализацию как процесс, обеспечивающий включение в ту или иную социальную группу или общность. Социализация представляет собой развитие человека на протяжении всей его жизни во взаимодействии с окружающей средой, в процессе которого он усваивает социальный опыт и ак ...