Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.

Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)

Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.

Решение

Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при R.

Очевидно неравенство при R, N.

Сравним функциональный и числовой ряды и .

При R, N справедливо неравенство .

Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с .

Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R.

Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при R.

Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :

.

Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.

Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как

a) для R, N;

б) при R;

в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).

Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.

Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.

Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).

Законно ли применение к ряду

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?

Решение

Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.

Образование, педагогика, воспитание:

Психолого-лингвистические и дидактико-методические основы обучения чтению как виду речевой деятельности
В психологической литературе речевая деятельность определяется как "реализация общественно-коммуникативной деятельности людей в процессе их вербального общения". Способами её реализации, или видами речевой деятельности, являются говорение, слушание, чтение и письмо. Как справедливо отмеча ...

Дидактические игры на уроках русского языка и чтения в специальной школе VIII вида
Одним из эффективных средств развития интереса к учебному предмету является использование на уроках дидактических игр и занимательного материала, что способствует созданию у учеников эмоционального настроя, вызывает положительное отношение к выполняемой работе, улучшает общую работоспособность, дае ...

Типы педагогических задач и их характеристика
По временному признаку принято различать три большие группы педагогических задач - стратегические, тактические и оперативные. Стратегические задачи - это своеобразные "сверхзадачи". Они определяют исходные цели и конечные результаты педагогической деятельности. В реальном педагогическом п ...