Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.

Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)

Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.

Решение

Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при R.

Очевидно неравенство при R, N.

Сравним функциональный и числовой ряды и .

При R, N справедливо неравенство .

Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с .

Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R.

Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при R.

Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :

.

Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.

Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как

a) для R, N;

б) при R;

в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).

Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.

Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.

Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).

Законно ли применение к ряду

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?

Решение

Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.

Образование, педагогика, воспитание:

Обоснование отбора материала для письменного инструктирования учащихся в ходе одного из уроков
Прежде всего, нам нужно было выбрать тему урока производственного обучения и вид документации письменного инструктирования подходящий для изучения этой темы. Мы выбрали тему урока «Сплачивание и сращивание древесины на микрошип» которая является темой первого урока и вытекает из общей темы трех зан ...

Виды речевой деятельности, их характеристика
В психологии речи можно выделить следующие виды речевой деятельности: внутреннюю и внешнюю. Внешняя речь включает речь устную (диалогическую и монологическую) и письменную. Рассмотрим данные виды речевой деятельности подробнее. Речь внутренняя – различные виды использования языка (точнее, языковых ...

Роль и место самостоятельного домашнего чтения в обучении учащихся старших классов иностранному языку
Чтение на иностранном языке как опосредованная форма общения предоставляет возможности для расширения кругозора учащихся за счёт познавательной информации, заложенной в текстах, для воздействия на их интересы, чувства и эмоции. Как справедливо отмечает Л.А. Чернявская, оно оказывает влияние на разв ...