Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.
Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)
Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.
Решение
Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при
R.
Очевидно неравенство при
R,
N.
Сравним функциональный и числовой ряды и
.
При R,
N справедливо неравенство
.
Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с
.
Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
R.
Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при
R.
Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :
.
Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.
Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при
R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как
a) для
R,
N;
б) при
R;
в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с
).
Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.
Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).
Законно ли применение к ряду
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?
Решение
Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.
Образование, педагогика, воспитание:
История Уфы в архитектуре
Мы все знаем, слышали и видели о сокровищах найденных в гробнице Тутанхамона, о терракотовых воинах, Венере Милосской, о скелетах мамонтов и других находках археологов обнаруженных в Египте, Китае, Якутии, Греции, Турции и так далее, но даже не представляем какие древности хранят наши земли. Сущест ...
Значение речи для развития познавательных процессов, эмоционального и
социального развития детей с нарушениями слуха
Проблемы, связанные с определением значения речи для развития мышления и рассмотрением взаимодействия речи и мышления, подвергались обсуждению уже в античной философии. В соответствии с монистической моделью Платона, влияние которой сказывается до настоящего времени в различных направлениях бихевио ...
Практическая деятельность по психофизическому
развитию детей В ДОУ
Физическому развитию и здоровью отводятся ведущие позиции, поэтому для создания педагогической оздоровительной системы в любом дошкольном учреждении необходимо придерживаться следующих основных направлений: создать условия для двигательной деятельности, эмоционального, -интеллектуального, социально ...