Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке . чем занять себя в свободное время

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Проблемы социализации детей в педагогике и психологии
Социальная психология понимает социализацию как процесс, обеспечивающий включение в ту или иную социальную группу или общность. Социализация представляет собой развитие человека на протяжении всей его жизни во взаимодействии с окружающей средой, в процессе которого он усваивает социальный опыт и ак ...

Дидактико-методические основы обучения иноязычному чтению в условиях общеобразовательных школ
Прежде всего отметим, что содержание обучения иноязычному самостоятельному чтению должно отличаться мотивационно-побудительной направленностью, информативностью, высокой образовательной ценностью, аутентичностью, информационной и языковой доступностью. Воспитательно-образовательно-развивающий эффек ...

Методы и приемы формирования культурно-гигиенических навыков у детей младшего дошкольного возраста
В центре воспитательного процесса дошкольного образовательного учреждения находится ребёнок. По отношению к нему, как объекту воспитания, воспитатель выступает субъектом воспитательного процесса, воздействующим на личность с помощью специальных методов воспитания. Методы воспитания - это способы пе ...