Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Экспериментальные исследования по выявлению уровня лексической сформированности младших школьников
С целью формирования у младших школьников понятия "системные отношения" в лексике (без введения данного термина) был организован констатирующий эксперимент. В нашем исследовании решались следующие задачи: 1) проверить степень и уровень понимания младшими школьниками семантики слов, близос ...

Особенности воспитательной системы и воспитательного процесса с осужденными в исправительном учреждении
Организация воспитательного процесса с осужденными их перевоспитание требует значительных усилий со стороны сотрудников учреждения участвующих в этом процессе. Существует необходимость применения особого подхода к преодолению внутреннего сопротивления воспитуемых. Главный признак личности преступив ...

Организация учебного процесса и управление образованием
Учебный год в Республике Корея начинается 2 марта. В году выделяются триместры, чётко разграниченные каникулами; каникулы с 20 июня по 25 августа, две недели в конце ноября – начале декабря и весь февраль. В высших учебных заведениях летние каникулы совпадают со школьными, а зимние – с 10 декабря п ...