Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке . чем занять себя в свободное время

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Методические аспекты изучения персоналий в школьном курсе истории
Главный элемент содержания исторического образования – знания. Они включают в себя сведения, познания в области истории, концентрируя социальный опыт человечества. Знания создают научную картину развития общества, дают представление об исторической действительности и предполагают постижение её чело ...

Творческие игры как средство формирования коммуникативных навыков учащихся
В этом пункте рассмотрим два вида игр – это ролевые игры и драматизацию. Урок иностранного языка рассматривается как социальное явление, где классная аудитория – это определенная социальная среда, в которой учитель и учащиеся вступают в определенные социальные отношения друг с другом, где учебный п ...

Учебные тренинговые игры на уроках истории России и исторического краеведения
Сегодня практически любой учитель истории применяет в своей деятельности нетрадиционные формы построения уроков. Это связано со становлением нового стиля педагогического мышления учителя, ориентирующегося на эффективное решение образовательно-воспитательных задач в условиях скромного количества пре ...