Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие и сущность полоролевой социализации детей среднего дошкольного возраста
Воспитание как процесс приобщения человека к историческому опыту в содержательной и целеполагающей основе всегда определяется ведущими потребностями общества. Изменение базовых социальных ориентиров неизбежно приводит к пересмотру и переоценке задач, направлений, форм организации воспитательной раб ...

Психолого-педагогические основы развития речи
Речь – основа всякой умственной деятельности, средство коммуникации. Умение учеников сравнивать, классифицировать, систематизировать, обобщать формируется, в процессе овладения, через речь, проявляются также в речевой деятельности. Логически чёткая, доказательная, образная устная и письменная речь ...

Цели современного образования. Современные образовательные парадигмы
Учебные цели Выявление мнений различных социальных групп применительно к целям высшего образования. Изучение сущности традиционной и гуманистической образовательных парадигм. Определение своего места в парадигмальном пространстве. Отводимое время – 2 часа Структура занятия Вступительное слово. Ввод ...