Теорема 4. Если функции непрерывны в точке
и функциональный ряд
равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке
.
чем занять себя в свободное время
Доказательство.
Пусть - частичная сумма функционального ряда.
В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.
На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (
),
N,
:
или
.
Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке
по условию теоремы, то частичная сумма
будет непрерывна в точке
, как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:
=
+
+…+
.
На основании определения непрерывности функции в точке на языке
можно записать:
0
будет существовать такое
,
,
:
.
Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции
, то и последовательность функций
будет тоже равномерно сходиться к
.
На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (
0), (
N), (
):
.
Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: +
+
. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел
, получим:
.
Следовательно, - условие непрерывности функции
в точке
.
Образование, педагогика, воспитание:
Профильное обучение
Как известно, становление профильного обучения на старшей ступени общего образования является одним из приоритетных направлений модернизации системы общего образования в Российской Федерации. Профильное обучение - средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в ...
Значение и особенности применения дидактических игр на уроках информатики
Современный период развития цивилизационного общества по праву называется этапом информатизации. Характерной чертой этого периода является тот факт, что доминирующим видом деятельности в сфере общественногo производства, повышающим его эффективность и наукоемкость становится сбор, продуцирование, о ...
Игры, развивающие силу голоса и темп речи
Воспитания звуковой культуры речи у ребенка данного возраста направлено на развитие у него слухового восприятия, усвоение и закрепление правильного звукопроизношения. Голосовой аппарат малыша еще недостаточно окреп. Ребенок не всегда может правильно им пользоваться, часто говорит тихо, шепотом или ...