Теорема 4. Если функции непрерывны в точке
и функциональный ряд
равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке
.
чем занять себя в свободное время
Доказательство.
Пусть - частичная сумма функционального ряда.
В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.
На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (
),
N,
:
или
.
Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке
по условию теоремы, то частичная сумма
будет непрерывна в точке
, как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:
=
+
+…+
.
На основании определения непрерывности функции в точке на языке
можно записать:
0
будет существовать такое
,
,
:
.
Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции
, то и последовательность функций
будет тоже равномерно сходиться к
.
На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (
0), (
N), (
):
.
Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: +
+
. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел
, получим:
.
Следовательно, - условие непрерывности функции
в точке
.
Образование, педагогика, воспитание:
Психология сказки. Толкование волшебных сказок. Психологический смысл мотива
искупления в волшебной сказке
Как видите, даже далеко не полный перечень определений сказки позволяет увидеть и разнообразие подходов, и почти полностью совпадающие взгляды. Обращает на себя внимание, что авторы толковых словаре обычно говорят о фольклорном происхождении сказки, но не фиксирует в определении такой вид сказки, к ...
Генезис стиля
Предпосылки существования объективированных стилей создаются в процессе развития деятельности, отчуждения ее результатов, продуктов, средств от производителя. Условным началом формирования индивидуального стиля можно считать вступление субъекта в деятельность. Сразу же, еще до сколько-нибудь полног ...
Воспитание детей со сложными сенсорными нарушениями
Причинами появления у детей таких сложных и даже множественных врожденных нарушений могут быть различные вирусные заболевания матери во время беременности (краснуха, грипп, цитомегаловирусная инфекция и др.). Возможными причинами появления детей с множественными врожденными пороками развития остают ...