Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Математика и ее потенциал в развитии младших школьников
Развитие – процесс, направленный на изменение материальных и духовных объектов с целью их усовершенствования. Изменение материи и сознания, их универсальное свойство, всеобщий принцип объяснения истории природы, общества и познания. В начальной школе именно математика является основой развития у уч ...

Методикаформирования представлений о домашних животных у детей раннего возрастасредствами дидактической игры
Провели диагностику предложенную Е.В. Гончаровой и Л.В. Моисеевой. В процессе индивидуальных бесед малышам демонстрировались дидактические картинки игрушки-модели. Анализируя уровень знаний детей о животных, обращали внимание на следующие критерии: 1. Узнавание и называние животного. 2. Знание особ ...

Цели организации элективных курсов по математике
Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике – уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы. Программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей ...