Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Постановка проблемы в психолого-педагогической литературе
Русский историк Н.И. Караев писал: «История есть, между прочим, и история деятельности людей…». Таким образом, автор нацеливал учащихся средней школы на необходимость глубокой проработки знаний о жизни и деятельности исторических личностей. Поскольку наши исследования были посвящены урокам истории ...

Игровые технологии преподавания происхождения сущности государства и права в современной школе
Игра – это определенная целостная реальность, обязательно как-то соотносящаяся с существующим миром («кусок» жизни). В этой реальности действуют и общаются люди. Соответственно, в процессе игры играющие получают опыт. Составляющими опыта могут быть и знания, и эмоциональные впечатления, и навыки, и ...

Использование познавательных книг математического содержания и рабочих тетрадей в логико-математическом развитии дошкольников
На протяжении XX в. активно разрабатывались вопросы использования книг с математическим содержанием и рабочих тетрадей с целью обогащения математических представлений дошкольников (Ф. Н. Блехер, 3. А. Михайлова, Л. Г. Петерсон, Е. Я. Фортунатова, Л. К. Шлегер и др.). Условно можно выделить нескольк ...