Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Формы занятий и контроль знаний на элективных курсах по математике
Введение профильного обучения, а особенно элективных курсов, в программу старшей школы, несомненно, потребует разнообразия форм и методов обучения, так как профильное обучение – это не только дифференцирование содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный процесс. При вы ...

Гимнастика для пальчиков
Гимнастика для пальцев рук делится на пассивную и активную. Пассивная гимнастика рекомендуется как предварительный этап перед активной гимнастикой детям с низким уровнем развития мелкой моторики. Затем следует перейти к упражнениям активной пальцевой I гимнастики. Все упражнения проводятся в игрово ...

Использование метода проектов при обучении информатике в начальной школе
Таким образом, раскрыв содержание понятий: «метод», «метод проектов», « проект», «учебная тема», «мышление», «младший школьный возраст» и выявив особенности метода проектов, мы пришли к выводу о том, что использование данного метода на уроках информатики способствует более эффективному усвоению уча ...