Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Игры, способствующие пониманию и формированию грамматических конструкций
Своевременное формирование грамматического строя языка ребенка является важнейшим условием его полноценного речевого и общего психического развития, поскольку язык и речь выполняют ведущую функцию в развитии мышления и речевого общения, в планировании и организации деятельности ребенка, самоорганиз ...

Проблема отбора содержания экспериментальных уроков
Основная трудность, с которой сталкиваются учителя в школах при изучении исторических персоналий, - это отсутствие систематизированного исторического материала и методических рекомендаций. При отборе исторического материала мы старались опираться на литературу, доступную для школьных учителей. Нами ...

Состояние произношение учащихся с нарушенным слухом
С одно стороны, подходя к характеристике произношения, необходимо, прежде всего, выяснить, насколько оно обеспечивает понимание устной речи учащихся окружающими. С другой стороны, следует, по-видимому, выяснить в какой мере произношение учащихся способно обеспечить им кинестетическую базу мышления. ...