Теорема 4. Если функции непрерывны в точке
и функциональный ряд
равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке
.
чем занять себя в свободное время
Доказательство.
Пусть - частичная сумма функционального ряда.
В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.
На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (
),
N,
:
или
.
Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке
по условию теоремы, то частичная сумма
будет непрерывна в точке
, как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:
=
+
+…+
.
На основании определения непрерывности функции в точке на языке
можно записать:
0
будет существовать такое
,
,
:
.
Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции
, то и последовательность функций
будет тоже равномерно сходиться к
.
На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (
0), (
N), (
):
.
Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: +
+
. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел
, получим:
.
Следовательно, - условие непрерывности функции
в точке
.
Образование, педагогика, воспитание:
Дезонтогенез речевого развития детей при легкой степени умственной
отсталости у детей
Становление речи умственно отсталого ребенка осуществляется своеобразно и с большим запозданием. Он позднее и менее активно вступает в эмоциональный контакт с матерью. Исследователи отмечают, что в возрасте около года звуковые комплексы, произносимые детьми, бедны и характеризуются сниженной эмоцио ...
Компоненты и развитие
профессионального самопределения
Профессиональное развитие человека в целом онтогенетически связано с основными видами его деятельности, соответствующими возрастным периодам. Возрастное развитие человека как субъекта труда Е.А. Климов представляет в виде трех периодов, в каждом из которых выделяет и характеризует стадии развития п ...
Теоретические основы преподавания живописи пейзажа акварелью
Для преподавания живописи пейзажа акварелью на уроках изобразительного искусства необходимо для начала ознакомить учащихся с различными видами пейзажей, картинами художников и разными акварельными техниками. Необходимо начать с выполнения простых упражнений, небольших этюдов пейзажа, а также деталь ...