Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема доказана .

Замечание

1) Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде:

или ,

так как ,

его сумма ,

следовательно, .

2) Так как каждая функция непрерывна в точке , то для любой функции можно написать утверждение: , следовательно, . Таким образом, предел от функционального рядаравен сумме пределов его элементов.

Известно, что если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве. Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей.

Теорема 5. Если функции , N непрерывны в точке и равномерно сходятся к функции на множестве Х, то и функция непрерывна в точке и выполняется равенство: (предельные переходы по х и по n перестановочны).

Доказательство

Так как функции равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: .

Функция является непрерывной в точке множества Х на основании теоремы 4. Так как непрерывна в точке , то можно записать следующее утверждение: (определение 1 непрерывности функции в точке).

Используя равенство пункта 1, подставим вместо левую часть утверждения .

Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке , то на основании определения 1 непрерывности функции в точке можно записать .

Перейдем к пределу при в последнем равенстве:

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то верно следующее утверждение:

Образование, педагогика, воспитание:

Планирование работы классного руководителя
План работы классного руководителя - конкретное отображение предстоящего хода воспитательной работы в ее общих стратегических направлениях и мельчайших деталях. Классный руководитель должен начинать работу над планом в конце предшествующего учебного года, когда становится известным распределение уч ...

Семейная психолого-педагогическая культура как основавзаимодействия социального педагога и семьи
Жизнь семьи характеризуется материальными и духовными процессами, которые исторически обусловливаются системой общественных отношений, национальными обычаями, традициями, культурой, в конечном итоге её укладом. Развитие личности ребёнка в семье в решающей степени происходит под воздействием семейно ...

Поиск и отбор натуры. Работа над эскизами. Использование оригинальных и традиционных приемов графики в процессе выполнения работы
Вопрос о технике и материале, в котором будет выполнена практическая часть дипломной работы, не стоял. Было решено, что работы должны быть выполнены в графике, карандашом и на бумаге. Выбор темы тоже был недолгим. Так как Архитектурные памятники Уфы поражают и завораживают. Когда тематика практичес ...