Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема доказана .

Замечание

1) Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде:

или ,

так как ,

его сумма ,

следовательно, .

2) Так как каждая функция непрерывна в точке , то для любой функции можно написать утверждение: , следовательно, . Таким образом, предел от функционального рядаравен сумме пределов его элементов.

Известно, что если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве. Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей.

Теорема 5. Если функции , N непрерывны в точке и равномерно сходятся к функции на множестве Х, то и функция непрерывна в точке и выполняется равенство: (предельные переходы по х и по n перестановочны).

Доказательство

Так как функции равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: .

Функция является непрерывной в точке множества Х на основании теоремы 4. Так как непрерывна в точке , то можно записать следующее утверждение: (определение 1 непрерывности функции в точке).

Используя равенство пункта 1, подставим вместо левую часть утверждения .

Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке , то на основании определения 1 непрерывности функции в точке можно записать .

Перейдем к пределу при в последнем равенстве:

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то верно следующее утверждение:

Образование, педагогика, воспитание:

Анализ программ и учебников по русскому языку для 1 - 4 классов
В настоящее время в школах осуществляется обучение русскому языку по вариативным авторским программам. Нами были проанализированы учебно-методические комплексы по русскому языку для начальных классов авторов Т.Г. Рамзаевой, Р.Н. Бунеева, Е.В. Бунеевой, О.В. Прониной, Л.М.Зелениной, Т.Е.Хохловой. Пр ...

Формирование знаний на уроке окружающего мира с использованием презентации на тему: «Животный и растительный мир болот»
По программе «Начальная школа XIX век» встречается тема «Животный и растительный мир болот». Целью урока: расширить представления учащихся о животном и растительном мире водоемов: болот. Развивающая: развивать ОУУН: учебно–управленческие умения: организовывать свой труд, контроль и анализ собственн ...

Особенности формирования фонетико-фонематической стороны речи в онтогенезе
Понимание ребенком речи окружающих развивается по законам образования условных рефлексов. На исходе первого года в результате многократного одновременного слышанья ребенком определенного звукосочетания и зрительного восприятия определенного предмета между этими возбуждениями (слуховым и зрительным) ...