Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема доказана .

Замечание

1) Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде:

или ,

так как ,

его сумма ,

следовательно, .

2) Так как каждая функция непрерывна в точке , то для любой функции можно написать утверждение: , следовательно, . Таким образом, предел от функционального рядаравен сумме пределов его элементов.

Известно, что если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве. Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей.

Теорема 5. Если функции , N непрерывны в точке и равномерно сходятся к функции на множестве Х, то и функция непрерывна в точке и выполняется равенство: (предельные переходы по х и по n перестановочны).

Доказательство

Так как функции равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: .

Функция является непрерывной в точке множества Х на основании теоремы 4. Так как непрерывна в точке , то можно записать следующее утверждение: (определение 1 непрерывности функции в точке).

Используя равенство пункта 1, подставим вместо левую часть утверждения .

Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке , то на основании определения 1 непрерывности функции в точке можно записать .

Перейдем к пределу при в последнем равенстве:

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то верно следующее утверждение:

Образование, педагогика, воспитание:

Методические требования к художественным текстам для домашнего чтения на старшей стадии обучения учащихся иностранному языку
Для успешной организации процесса обучения самостоятельному чтению представляется важным рассмотреть требования к текстам. Основу типологической общности текстового материала для домашнего чтения на средней стадии обучения иностранному языку, на наш взгляд должны составлять требования к: 1) жанру, ...

Сущность педагогической деятельности
Смысл педагогической профессии выявляется в деятельности, которую осуществляют ее представители и которая называется педагогической. Очевидно, что эту деятельность осуществляют не только педагоги, но и родители, общественные организации, руководители предприятий и учреждений, производственные и дру ...

Подготовка и проведение учебно-воспитательного занятия с применением видеометода
При подготовке к уроку или внеклассному мероприятию, на котором будут применяться технические средства обучения необходимо, прежде всего, ознакомиться с 1) санитарно-гигиеническими требованиями к организации учебно-воспитательного процесса с использованием в нём электронной техники, и 2) действующе ...