Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема доказана .

Замечание

1) Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде:

или ,

так как ,

его сумма ,

следовательно, .

2) Так как каждая функция непрерывна в точке , то для любой функции можно написать утверждение: , следовательно, . Таким образом, предел от функционального рядаравен сумме пределов его элементов.

Известно, что если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве. Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей.

Теорема 5. Если функции , N непрерывны в точке и равномерно сходятся к функции на множестве Х, то и функция непрерывна в точке и выполняется равенство: (предельные переходы по х и по n перестановочны).

Доказательство

Так как функции равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: .

Функция является непрерывной в точке множества Х на основании теоремы 4. Так как непрерывна в точке , то можно записать следующее утверждение: (определение 1 непрерывности функции в точке).

Используя равенство пункта 1, подставим вместо левую часть утверждения .

Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке , то на основании определения 1 непрерывности функции в точке можно записать .

Перейдем к пределу при в последнем равенстве:

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то верно следующее утверждение:

Образование, педагогика, воспитание:

Условия формирования опыта
Базой опытно-экспериментальной работы послужила средняя общеобразовательная школа №5 города Ершова. В реализации опытно-экспериментальной программы принимала участие Бутенко Елена Эдуардовна. В школе работает с 1986 года. Окончила Ташкентский педагогический институт имени Низами. Имеет высшую квали ...

Профессиональная квалификация педагога
Нормативы и сферы деятельности педагога в принципе неизменяемы, а вот его становление — движение от возможного к действительному, начинаясь с предпрофессионального поиска себя, затем профессионального образования и продолжаясь в ходе работы по специальности, — во всех его аспектах индивидуально, т. ...

Особенности адаптации детей к дошкольному учреждению
Дети по-разному переносят трудности, связанные с состоянием эмоционального напряжения при адаптации к условиям детского учреждения. Различают легкую адаптацию, при которой ребенок проявляет имеющееся у него состояние напряжения в виде кратковременного отрицательного эмоционального состояния, у него ...