Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Анализ учебников с точки зрения вероятностно – стохастической линии
Как показал анализ анкет, в школе №27 вероятностно-стохастическая линия включена в учебные планы учителей математики, но при прохождении нами педагогической практики (5 курс) в школе №14 выяснилось, что данная тема не рассматривалась учителем до 11 класса, хотя профиль класса социально-экономически ...

Методы научного исследования
Обязательным этапом исследования является выбор методов исследования, которые зависят от особенностей решаемых задач, специфики содержания проблем и возможностей исследования. Метод-путь познания; способ построения и обоснования научного знания; способ посредством которого показывается предмет наук ...

Понятие предметно-развивающий среды и ее влияние на развитие игры-драматизации в старшем дошкольном возрасте
Проблема среды рассматривалась в трудах М.Я. Басова, П.П. Блонского, А.Б. Залкина и других. Уже в 1927 году ставится вопрос о роли среды в процессе развития ребенка на первом педагогическом съезде, где были сделаны следующие выводы: Среда является лишь фактором, содействующим процессу развертывания ...