Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие и структура межкультурной компетенции
Глобализация – это процесс возрастающего воздействия различных факторов международного значения (например, тесных экономических и политических связей, культурного и информационного обмена) на социальную действительность в отдельных странах. Суть глобализации заключается в расширении взаимосвязей и ...

Поиск и отбор натуры. Работа над эскизами. Использование оригинальных и традиционных приемов графики в процессе выполнения работы
Вопрос о технике и материале, в котором будет выполнена практическая часть дипломной работы, не стоял. Было решено, что работы должны быть выполнены в графике, карандашом и на бумаге. Выбор темы тоже был недолгим. Так как Архитектурные памятники Уфы поражают и завораживают. Когда тематика практичес ...

Компетентностный подход в подготовке специалиста. Государственный образовательный стандарт 3-го поколения
Учебные цели 1. Знать основные структурные компоненты педагогического процесса в вузе. 2. Знать специфику понятий – компетенция и компетентность, 3. Иметь представление об истории и особенностях компетентностного подхода в профессиональном образовании Отводимое время – 2 часа План лекции 1. Совреме ...