Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Анализ результатов коррекции нарушений графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта
После проведения коррекционной работы по устранению нарушений графомоторных навыков, нами была проведена повторная диагностика уровня сформированности графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта. В исследовании принимали участие те же ученики второго класса с и ...

Глобализация высшего образования в Европе: предболонский период
Первый период – 1957 – 1982 годы. Конференция министров образования в 1971 году обозначила пять основных моментов общеевропейского измерения в образовательных системах: взаимное признание дипломов; обоснование идеи формирования европейского университета; кооперация вторичного и высшего образования; ...

Общая характеристика процесса воспитания
Понятие «воспитание» является одним из центральных понятий в педагогике. От того, как производится трактовка этого термина, зависит многое в последующем анализе и понимании сущности спрятанного за данным словом явления. Исходное значение слово «воспитание» обусловлено корневой частью слова: «воспит ...