.
С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:
.
Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .
Теорема доказана [14].
§9. Почленное интегрирование функциональных рядов
Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций
сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции
, то
последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом
будет сходиться равномерно на
к определенному интегралу
, причем будет справедлива следующая формула:
.
1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции
на
т.е.
, то
функция будет непрерывна на
на основании теоремы 5.
2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл
,
3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции
на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:
.
4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:
=
(на основании свойства определенного интеграла).
5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:
.
6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:
, что равносильно выражению
, но
, поэтому
,
.
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывны на
и функциональный ряд
равномерно сходится на указанном отрезке, тогда
функциональный ряд вида
будет равномерно ходиться на отрезке
к
или к
, т.е. справедлива
Образование, педагогика, воспитание:
Игры с использованием обобщающих слов
Общая цель для всех игр этого раздела – учить детей понимать обобщающие слова и использовать их в своей речи. Важно
, играя в эти игры, делать акцент на обобщающие слова: «Все это мебель (посуда, одежда и т.д.). Покажи где мебель (посуда, одежда и т.д.). Скажи – мебель (посуда, одежда и т.д.)». Или ...
Семейная психолого-педагогическая культура как основавзаимодействия
социального педагога и семьи
Жизнь семьи характеризуется материальными и духовными процессами, которые исторически обусловливаются системой общественных отношений, национальными обычаями, традициями, культурой, в конечном итоге её укладом. Развитие личности ребёнка в семье в решающей степени происходит под воздействием семейно ...
Дидактические
возможности компьютерной инструментальной среды ЛогоМиры
«Лого – инструмент для познания и развития собственного мышления, и в этом отличие этой среды от систем программирования, ориентированных в первую очередь на обеспечение наиболее эффективного использования аппаратуры». Программная среда Лого (ЛогоМиры) была разработана и реализована под руководство ...