Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие и критерии педагогических технологий
Понятие «педагогическая технология» в последнее время получает более широкое распространение в теории обучения. Педагогическая технология означает системную совокупность и порядок функционирования всех методологических, инструментальных и личностных средств, используемых для достижения педагогическ ...

Методы и приемы формирования культурно-гигиенических навыков у детей младшего дошкольного возраста
В центре воспитательного процесса дошкольного образовательного учреждения находится ребёнок. По отношению к нему, как объекту воспитания, воспитатель выступает субъектом воспитательного процесса, воздействующим на личность с помощью специальных методов воспитания. Методы воспитания - это способы пе ...

Связь показателей эмоционально-волевых свойств с успешностью обучения
В литературе имеются данные, характеризующие взаимосвязь успешного овладения знаниями детьми с теми или иными чертами незрелости их эмоционально-волевой сферы. Так, дети с астеническими, т.е. пассивными или угнетенными состояниями, которых много среди неуспевающих школьников, при выполнении заданий ...