Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Экспериментальные исследования по выявлению уровня лексической сформированности младших школьников
С целью формирования у младших школьников понятия "системные отношения" в лексике (без введения данного термина) был организован констатирующий эксперимент. В нашем исследовании решались следующие задачи: 1) проверить степень и уровень понимания младшими школьниками семантики слов, близос ...

Сравнительный анализ программ учебно-воспитательного процесса в дошкольных образовательных учреждениях
Разработанная в России стратегия построения государственных образовательных стандартов соответствует Международной конвенции о правах ребенка, опирается на положение Закона РФ "Об образовании". В отличие от школьных государственных образовательных стандартов, которые определяют: обязатель ...

Особенности двигательной активности мальчиков и девочек
Для педагога представляет интерес и такая закономерность, как различие в количественном и качественном отношении двигательной активности мальчиков и девочек. Заслуживает внимания и тот факт, что она ниже у вторых и составляет 70 – 80% суточных величин движений первых. Девочки меньше проявляют двига ...