Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Фонетические факторы внятности
Наряду с общими требованиями к внятности и членораздельности, следует иметь в виду и ряд вытекающих из них частных требований, касающихся разных сторон фонетического оформления речи, а именно: голоса, фонетического облика слова (включая их фонематический состав, слоговый ритм, ударение, орфоэпию), ...

Правильная постановка задач на уроке
Нередко активность учащихся на уроке снижается из-за того, что учитель допускает ошибки при постановке задачи. Л.В. Вишнева выделяет наиболее типичные из них: 1. Учитель перечисляет упражнения, которые будут выполнять ученики на уроке, вместо того чтобы поставить задачу, которая должна быть решена. ...

Условия использования эвристической технологии в образовательном процессе
Анализ психологических исследований по выявлению условий эвристической образовательной деятельности позволил установить три группы личностных качеств ученика, необходимых для её обеспечения: креативные, когнитивные и оргдеятельностные (методологические). Согласно обозначенным выше философским основ ...