Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Организация обучения математике в основных профилях
Согласно можно выделить несколько групп основных профилей, для которых математика изучается в наиболее приемлемом для этих профилей объёме. Естественно-математический профиль: математика изучается в профильном курсе в течение 12 часов в 2 недели. Технологический профиль: математика изучается в проф ...

Методика подбора и применения средств физического воспитания в период эксперимента
Организация физического воспитания, существующая в настоящее время, направлена в основном на совершенствование двигательных умений и навыков и не в полной мере способствует формированию эмоционально-волевой готовности детей к обучению в школе, поскольку не содержит целевых установок для работы в да ...

Факторы становления имиджа педагога
Фактор (от лат. factor – делающий, производящий) – это причина, движущая сила какого-либо процесса, определяющая его характер или отдельные его черты. Как и любая деятельность, деятельность по созданию имиджа начинается с мотива, движущей силой формирования имиджа, и определяется им. В основе деяте ...