.
С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:
.
Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .
Теорема доказана [14].
§9. Почленное интегрирование функциональных рядов
Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:
.
1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то
функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.
2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл
,
3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:
.
4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:
=
(на основании свойства определенного интеграла).
5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:
.
6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:
, что равносильно выражению
, но , поэтому
, .
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива
Образование, педагогика, воспитание:
Исследования современных методик обучения английскому
языку как второму иностранному
Выдвижение иноязычной культуры в качестве цели обучения вызвало появление вопроса о необходимости создания новой методической системы, которая могла бы обеспечить достижение этой цели наиболее эффективным и рациональным способом. Тогда коллектив кафедры обучения иностранным языкам Липецкого государ ...
Система высшего и послевузовского образования в мире
Учебные цели 1. Знать основные мировые модели высшего и послевузовского образования; 2. Уметь оценивать положительный опыт в подготовке научно-педагогических кадров зарубежных стран применительно к российской высшей школе. Отводимое время – 2 часа План лекции 1. Краткая характеристика систем профес ...
Воспитание детей со сложными сенсорными нарушениями
Причинами появления у детей таких сложных и даже множественных врожденных нарушений могут быть различные вирусные заболевания матери во время беременности (краснуха, грипп, цитомегаловирусная инфекция и др.). Возможными причинами появления детей с множественными врожденными пороками развития остают ...