Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

История Уфы в архитектуре
Мы все знаем, слышали и видели о сокровищах найденных в гробнице Тутанхамона, о терракотовых воинах, Венере Милосской, о скелетах мамонтов и других находках археологов обнаруженных в Египте, Китае, Якутии, Греции, Турции и так далее, но даже не представляем какие древности хранят наши земли. Сущест ...

Классификация педагогических игр
Как уже было сказано выше, педагогическая игра отличается чёткостью постановки цели и соответствующим ей педагогическим результатом. Так же педагогическая игра имеет свою классификацию, которую мы рассмотрим в данной работе. Место и роль игровой технологии в учебном процессе, сочетание элементов иг ...

Краткая характеристика грамматического строя немецкого языка в сопоставлении с русским
Пожалуй, ни один из аспектов обучения иностранному языку не был на протяжении многих лет предметом столь интенсивных обсуждений и дискуссий, как грамматика. Грамматика играла и продолжает играть неодинаковую роль не только при обучении родному или иностранному языкам, но и вообще в системе образова ...