Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Выборочный метод отбора исследуемых
Несплошное исследование организуется специально, чтобы при определенных условиях, не охватывая всех единиц изучаемого явления, можно было получить такое количество материалов, которое гарантировало бы наибольшую точность выводов по генеральной совокупности. В силу этого несплошное исследование подч ...

Игры с пальчиками
Пальчиковые игры побуждают малышей к творчеству и в том случае, когда ребенок придумывает к текстам свои, пусть даже не очень удачные движения, его следует хвалить и, если возможно, показать свои творческие достижения, например, папе или бабушке. Наибольшее внимание ребенка привлекают пальчиковые и ...

Методические рекомендации для воспитателей по формированию культурно-гигиенических навыков у детей младшего дошкольного возраста
Проведя наше исследование, мы считаем, что в каждом детском саду должны проводиться специальные занятия или мероприятия, направленные на формирование культурно - гигиенических навыков у детей младшего дошкольного возраста. Заложенные в детстве навыки и привычки сохраняются у дошкольников на всю ост ...