Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Функции и средства педагогического общения
Традиционно в общении выделяют три взаимосвязанных функции: коммуникативную (обмен информацией), перцептивную (восприятие и познание людьми друг друга), интерактивную (организация и регуляция совместной деятельности. Эти функции общения в педагогической деятельности реализуются в единстве, но для р ...

Описание пробного обучения и его результатов
Изложенные выше теоретические положения мы апробировали на практике в сентябре – октябре 2008 – 2009 учебного года в 4 «А» классе в реальных условиях учебного процесса в средней школе №133 г. Самары. Это означает, что нами было проведено пробное обучение. Уроки проходили в соответствии с расписание ...

Сущность понятия "одаренность"
В современной социально-педагогической литературе существует огромное количество определений понятия одаренность. В толковом словаре русского языка Д.Н. Ушакова одаренность - талантливость, даровитость, та или иная степень ее. Одаренный - человек с богатой природой, обладающий какими-нибудь свойств ...