Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Определение объёма исследований
Определить оптимальное количество исследуемых помогает знание некоторых общих положений. По количеству исследуемых следует различать два вида выборочной совокупности: для опытных групп (экспериментальных и контрольных) и для «массовых» исследований. Первая всегда будет меньше, чем вторая. Если для ...

Историко-педагогические идеи в области национального образования
В основе национального образования лежит позитивное восприятие своего исторического прошлого, раскрытие глубинных смыслов общественного бытия через осмысление собственных национальных корней и возрождение лучших народных традиций. Именно национальное образование, представляющее собой концентрат цен ...

Необходимость воспитания чувства юмора в дошкольном детстве
Дошкольное детство – это большой отрезок жизни ребенка. Условия жизни в это время стремительно расширяются: рамки семьи раздвигаются до пределов улицы, города, страны. Ребенок открывает для себя мир человеческих отношений, разных видов деятельности и общественных функций людей. Период дошкольного д ...