Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Результаты пробного экспериментального обучения по формированию межкультурной компетенции у учащихся
Несмотря на то, что формирование межкультурной компетенции очень сложный и длительный процесс, требующий продолжительной работы, мы сделали попытку провести пробное экспериментальное обучение и выявить уровни сформированности межкультурной компетенции у старшеклассников. В исследовании принимали уч ...

Работа с кадрами дошкольного учреждения
Современная практика работы дошкольных учреждений показывает, что далеко не все педагоги и родители знают особенности психофизического, эмоционального и интеллектуального развития ребенка-дошкольника и, как следствие, слабо владеют приемами здоровьесберегающей педагогики. Для более эффективного вза ...

Пути и способы объяснения грамматики
Овладение грамматическими средствами должно достигать уровня навыка и проявляться в речи на уровне вторичного творческого уровня. Процесс объяснения соответствует первому этапу формирования грамматических навыков и умений — этапу создания ориентировочной основы действия. Основу для создания системы ...