Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Младший школьник как субъект учебной деятельности
Школьный возраст, как и все возрасты открывается критическим периодом, который был описан в литературе раньше остальных как кризис семи лет. Давно замечено, что ребенок при переходе от дошкольного к школьному возрасту очень резко меняется и становится более трудным в воспитательном отношении, чем п ...

Система высшего и послевузовского образования в мире
Учебные цели 1. Знать основные мировые модели высшего и послевузовского образования; 2. Уметь оценивать положительный опыт в подготовке научно-педагогических кадров зарубежных стран применительно к российской высшей школе. Отводимое время – 2 часа План лекции 1. Краткая характеристика систем профес ...

Серия интегрированных уроков изобразительного искусства, способствующих формирование интереса младшего школьников к народному искусству
Муниципальное образовательное учреждение средней образовательной школы №1 Города Нижнего Тагила, Свердловская область, улица оплетена 11. 2 б класс, 8 – 9 лет такого возраста дети в этом классе. В классе 25 человек. 11 девочек и 14 мальчиков. В классе есть одна девочка другой национальности азербай ...