Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Эффективные методы и приемы формирования коммуникативной полноценности речи на материалах ИЗО
Как ребенку успешно развивать свою речь, речевое творчество? Как реализовать потенциал его речевых возможностей, побудить к созданию самых простых рассказов, сказок, стихов? Что посоветовать родителям, чтобы их дети и после школы сознательно стремились к творческому самовыражению в слове. Сплошные ...

Активные методы обучения на уроках информатики
Активный метод это форма взаимодействия учащихся и учителя, при которой учитель и учащиеся взаимодействуют друг с другом в ходе урока и учащиеся здесь не пассивные слушатели, а активные участники урока. Если в пассивном уроке основным действующим лицом и менеджером урока был учитель, то здесь учите ...

Принципы образования в области прав человека
Устойчивая (в долгосрочном плане), всеобъемлющая и эффективная национальная стратегия включения образования в области прав человека в образовательные системы может включать следующие мероприятия: – учет вопросов образования в области прав человека в национальном законодательстве, регулирующем школь ...