Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

История Уфы в архитектуре
Мы все знаем, слышали и видели о сокровищах найденных в гробнице Тутанхамона, о терракотовых воинах, Венере Милосской, о скелетах мамонтов и других находках археологов обнаруженных в Египте, Китае, Якутии, Греции, Турции и так далее, но даже не представляем какие древности хранят наши земли. Сущест ...

Возрастное психофизическое развитие ребенка и его особенности
В процессе жизни человек все время развивается, то есть изменяется в количественном и качественном отношении. При этом можно особо говорить о развитии организма человека: физическом, умственном, психическом, личностном; а также о развитии многих других его качеств и особенностей. Развитие человека ...

Профессиональная квалификация педагога
Нормативы и сферы деятельности педагога в принципе неизменяемы, а вот его становление — движение от возможного к действительному, начинаясь с предпрофессионального поиска себя, затем профессионального образования и продолжаясь в ходе работы по специальности, — во всех его аспектах индивидуально, т. ...