Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Информационные технологии на уроках окружающего мира
Информационные технологии эффективны лишь в сочетании с соответствующими педагогическими технологиями: если учитель мыслит прежними категориями, то использование технических средств не меняет сути образовательного процесса и традиционного репродуктивного метода подачи материала. Все определяется ли ...

Понятие и значение преподавания происхождения сущности государства и права в современной школе
Процесс преподавания происхождения сущности государства и права в современной школе представляет собой процесс, способствующий воспитанию социально-активной личности, которая способна решать общественно-значимые задачи, опираясь на приоритет государства и права. Являясь одним из основных институтов ...

Структура педагогического мастерства
Педагогическое мастерство, выражая высокий уровень развития педагогической деятельности, владения педагогической технологией, в то же время выражает и личность педагога в целом, его опыт, гражданскую и профессиональную позицию. Мастерство учителя - это синтез личностно-деловых качеств и свойств лич ...