Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Игры и упражнения для сенсорного развития
Сенсорное развитие ребенка – это развитие его восприятия и формирование представлений о внешних свойствах предметов: их форме, цвете, величине, положении в пространстве, а так же запахе, вкусе и т.п. Значение сенсорного развития в раннем и дошкольном детстве трудно переоценить. Именно этот возраст ...

О содержании и форме богослужебных песнопений
В отборе канонических текстов для песнопений Всенощной и Литургии прослеживается ориентация на определённое содержание. Она позволяет выделить отдельные группы жанровых типов интонирования. Ведущее место среди них занимает славление. Славление есть высший, абсолютно бескорыстный вид молитвы, оно яв ...

Условия формирования семейного физического воспитания
Правильно организованное физическое воспитание в семье, выступая как условие и фундамент психофизического благополучия ребенка, в свою очередь зависит от ряда объективных и субъективных условий. В науке и практике физического воспитания выделены условия, обязательное соблюдение которых обеспечивает ...