Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Семейная психолого-педагогическая культура как основавзаимодействия социального педагога и семьи
Жизнь семьи характеризуется материальными и духовными процессами, которые исторически обусловливаются системой общественных отношений, национальными обычаями, традициями, культурой, в конечном итоге её укладом. Развитие личности ребёнка в семье в решающей степени происходит под воздействием семейно ...

Краткая характеристика грамматического строя немецкого языка в сопоставлении с русским
Пожалуй, ни один из аспектов обучения иностранному языку не был на протяжении многих лет предметом столь интенсивных обсуждений и дискуссий, как грамматика. Грамматика играла и продолжает играть неодинаковую роль не только при обучении родному или иностранному языкам, но и вообще в системе образова ...

Принцип обеспечения межпредметных связей
Принцип обеспечения межпредметных связей состоит в выявлении взаимосвязей между компонентами учебного процесса, выделяемыми по предметному признаку. Согласование учебных предметов, как правило, обусловлено их содержанием. В процессе реализации межпредметных связей обеспечивается последовательность ...