Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Взаимосвязь процессов функционирования и развития в Омской области с элементами содержания общего образования
Регионально-национальный компонент содержания общего образования предопределяется содержанием понятия «регион». Регион – это территория, объединенная общим признаком, отличающим данную территорию от соседних территорий. Исходя из этого определения, очевидно, что в зависимости от выявленных признако ...

Игровые технологии в младшем школьном возрасте
Игровые технологии применяются на уроках как в начальной школе, так и в среднем и старшем звене. Но в нашей работе мы рассмотрим подробно игровые технологии в младшем школьном возрасте. Для младшего школьного возраста характерны яркость и непосредственность восприятия, легкость вхождения в образы. ...

Особенности обучения младших школьников
Границы младшего школьного возраста, совпадающие с периодом обучения в начальной школе, устанавливаются в настоящее время с 6-7 до 9-10 лет. В этот период происходит дальнейшее физическое и психофизиологическое развитие ребёнка, обеспечивающее возможность систематического обучения в школе. Прежде в ...