Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Взаимосвязь процессов функционирования и развития в Омской области с элементами содержания общего образования
Регионально-национальный компонент содержания общего образования предопределяется содержанием понятия «регион». Регион – это территория, объединенная общим признаком, отличающим данную территорию от соседних территорий. Исходя из этого определения, очевидно, что в зависимости от выявленных признако ...

Методическая организация грамматического материала в учебных целях
Проблема организации грамматического материала связана с вопросом о единице усвоения. Следует различать понятия «единица усвоения» и «объект усвоения». Так, М.М. Гохлернер считает, что «единицей усвоения должна стать не грамматическая тема, например, «Порядок слов в предложении», а понятие «структу ...

Урок истории в практике школы
В данной главе рассматривается современный урок истории на практике. Здесь изложены наблюдения и применяемые автором на практике, основные составляющие принципы и теоретические основы современного урока истории. В предыдущей главе рассматривались основные теоретические положения современного урока ...