Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Проблема сохранения здоровья подрастающего поколения
Конец XX столетия ознаменован целым комплексом глобальных изменений в социальной, экономической и духовной сферах общества, утратой ранее значимых ценностей и возникновением новых, формированием новой философии жизни. Человеческое сообщество захлестывает ускоряющийся динамизм социальных процессов, ...

Учреждения социального обслуживания, профилактики и реабилитации семьи и детей
В нашей стране в 1992 г. правительство принимает постановление "О первоочередных мерах по созданию государственной системы социальной помощи семье", которая включает экономическую, правовую, медицинскую, психологическую и педагогическую помощь. Социальная политика проявилась в выплате пос ...

Учебно-познавательная деятельность и технология ее организации
Учебно-познавательная деятельность - это специально организуемое самим обучаемым или извне познание с целью овладения богатствами культуры, накопленной человечеством. Ее предметным результатом являются научные знания, умения, навыки, формы поведения и виды деятельности, которыми овладевает обучаемы ...