Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Структура педагогической деятельности
Педагогическая деятельность имеет те же характеристики, что и любой другой вид человеческой деятельности. Это прежде всего целеположенность, мотивированность, предметность. Специфической характеристикой педагогической деятельности, по Н.В. Кузьминой, является ее продуктивность. Различают пять уровн ...

История становления и развития музыки православной церкви на Украине и в России
Вопросам истории церковного пения в России и на Украине посвящён ряд работ, созданных в большинстве своём в XIX , начале ХХ веков. Это исследования Д. Аллеманова, В. Металлова, А. Преображенского, Д. Разумовского, Н. Финдейзена. Во второй половине ХХ века эта сфера музыкальной культуры рассматривал ...

Средний этап обучения
Работа с аутентичным текстом организуется так, что упражнения перестают быть упражнениями, а становятся речевой ситуацией и выполняются часто в форме игры, в том числе ролевой, группами, индивидуально, коллективно. Рассмотрим технологию работы со следующими типами текстов: текст-образец; рассказ; п ...