Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Вклад известных ученых Ставрополья в процесс становления и развития высшего физико-математического образования
На Ставрополье система образования создавалась «на пустом месте», в отличие, например, от Ростова-на-Дону, куда был переведен Варшавский университет со всеми его сотрудниками, научным и учебным оборудованием, академическими традициями образования и т.д. В этом случае нельзя не отметить роли и заслу ...

Создание положительного эмоционального фона на уроке
Эмоциональный фон является важным фактором урока. Он возникает с момента ожидания учащимися урока физической культуры и существует на всем его протяжении. При этом эмоциональный настрой может изменяться по ходу урока в зависимости от самочувствия учащихся, проявляемого ими интереса к упражнению, в ...

Роль картинки в развитии речи детей дошкольного возраста
Особую роль картинки в развитии ребенка и в развитии речи детей дошкольного возраста отводила Е.И. Тихеева. Она описала что картинам как фактору умственного развития ребенка должно быть отведено почетное место с первых лет его жизни. Мы знаем, какое громадное значение имеют опыт и личное наблюдение ...