Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Ознакомление с основами правового сознания детей дошкольного возраста
По рекомендации ЮНЕСКО (1974 г.) обучение правам человека, т. е. правовое воспитание, предлагается начинать еще на дошкольном уровне. Сегодня в отечественной дошкольной педагогике эта проблема только разрабатывается, вызывая интерес у исследователей и практиков. Для правового образования детей педа ...

Цели обучения иностранному языку
Под «целью» принято понимать идеальный образ планируемого результата, закодированный в мозгу «образ потребного будущего», «пусковой механизм всякой деятельности». Цель – то, к чему стремятся, что намечено достигнуть, предел, намерение, которое должно осуществить. Цель – это планируемый результат. Ц ...

Содержание элективных курсов по математике
Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержан ...