Элементы заданного функционального ряда являются непрерывными функциями при R, значит, они будут непрерывными и на отрезке , ведь .
Исходный ряд равномерно и абсолютно сходится при R по признаку Вейерштрасса, а, значит, и на отрезке , так как:
a) для R, N;
б) при R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии: ).
Следовательно, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном интегрировании ряда на отрезке .
Ответ: Теорему применить можно.
Пример №33 (№114 из [7], студент с помощью преподавателя).
Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.
Решение
Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:
а) для R, N;
б) при R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера: , 0<1.
Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.
Проинтегрируем почленно заданный ряд на отрезке .
.
Ряд, полученный от почленного интегрирования заданного функционального ряда имеет вид на .
Ответ: при .
Образование, педагогика, воспитание: