Элементы заданного функционального ряда являются непрерывными функциями при R, значит, они будут непрерывными и на отрезке
, ведь
.
Исходный ряд равномерно и абсолютно сходится при
R по признаку Вейерштрасса, а, значит, и на отрезке
, так как:
a) для
R,
N;
б) при
R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии:
).
Следовательно, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном интегрировании ряда на отрезке
.
Ответ: Теорему применить можно.
Пример №33 (№114 из [7], студент с помощью преподавателя).
Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке
, написать полученный при этом ряд.
Решение
Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке
, если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для
R, значит, и на отрезке
.
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:
а) для
R,
N;
б) при
R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера:
, 0<1.
Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке
применить можно.
Проинтегрируем почленно заданный ряд на отрезке .
.
Ряд, полученный от почленного интегрирования заданного функционального ряда имеет вид на
.
Ответ: при
.
Образование, педагогика, воспитание:
Историко-педагогические идеи в области
национального образования
В основе национального образования лежит позитивное восприятие своего исторического прошлого, раскрытие глубинных смыслов общественного бытия через осмысление собственных национальных корней и возрождение лучших народных традиций. Именно национальное образование, представляющее собой концентрат цен ...
Роль семьи в полоролевой социализации дошкольников
До сих пор ученые полемизируют: какое понятие шире - полоролевое или половое воспитание. Одни считают полоролевое воспитание составной частью полового, другие убеждены в том, что оно (полоролевое) - более широкая область воспитания по сравнению с сексуальным. Но те и другие едины во мнении: психосе ...
Цели и задачи профильного обучения
В наше время одним из важнейших направлений модернизации системы образования в России остаётся переход к старшей профильной школе. Необходимость перехода старшей ступени на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» ...