Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Элементы заданного функционального ряда являются непрерывными функциями при R, значит, они будут непрерывными и на отрезке , ведь .

Исходный ряд равномерно и абсолютно сходится при R по признаку Вейерштрасса, а, значит, и на отрезке , так как:

a) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии: ).

Следовательно, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном интегрировании ряда на отрезке .

Ответ: Теорему применить можно.

Пример №33 (№114 из [7], студент с помощью преподавателя).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера: , 0<1.

Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.

Проинтегрируем почленно заданный ряд на отрезке .

.

Ряд, полученный от почленного интегрирования заданного функционального ряда имеет вид на .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Технология педагогического взаимодействия как условие эффективной педагогической деятельности
Педагогическое общение – специфическая форма общения, имеющая свои особенности и в то же время подчиняющаяся общим психологическим закономерностям, присущим общению как форме взаимодействия человека с другими людьми, включающей коммуникативный, интерактивный и перцептивный компоненты. Педагогическо ...

Повышение уровня двигательной активности и дозировка физической нагрузки на физкультурных занятиях
В последние годы ведущими направлениями в исследованиях по физической культуре стали изучение эффективности двигательной активности детей, совершенствование количественных и качественных показателей развития движений. Исследования профессора И.А.Аршавского говорят о том, что у ребенка восстановлени ...

История развития акварельной живописи
Акварель – одна из самых сложных и загадочных техник. Секрет ее, на первый взгляд, достаточно прост: растворенные в воде очень мелко растертые частицы пигмента создают прозрачный красочный слой, проницаемый для световых лучей, которые, отражаясь от белой поверхности бумаги, повышает интенсивность з ...