Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Элементы заданного функционального ряда являются непрерывными функциями при R, значит, они будут непрерывными и на отрезке , ведь .

Исходный ряд равномерно и абсолютно сходится при R по признаку Вейерштрасса, а, значит, и на отрезке , так как:

a) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии: ).

Следовательно, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном интегрировании ряда на отрезке .

Ответ: Теорему применить можно.

Пример №33 (№114 из [7], студент с помощью преподавателя).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера: , 0<1.

Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.

Проинтегрируем почленно заданный ряд на отрезке .

.

Ряд, полученный от почленного интегрирования заданного функционального ряда имеет вид на .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Ценность младшего школьного возраста
Глубокие изменения, происходящие в психологическом облике младшего школьника, свидетельствуют о широких возможностях развития ребенка на данном возрастном этапе. В течение этого периода на качественно новом уровне реализуется потенциал развития ребенка как активного субъекта, познающего окружающий ...

Математика и ее потенциал в развитии младших школьников
Развитие – процесс, направленный на изменение материальных и духовных объектов с целью их усовершенствования. Изменение материи и сознания, их универсальное свойство, всеобщий принцип объяснения истории природы, общества и познания. В начальной школе именно математика является основой развития у уч ...

Сущность понятия "одаренность"
В современной социально-педагогической литературе существует огромное количество определений понятия одаренность. В толковом словаре русского языка Д.Н. Ушакова одаренность - талантливость, даровитость, та или иная степень ее. Одаренный - человек с богатой природой, обладающий какими-нибудь свойств ...