Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Действительно, так как:

а) для R, N;

б) для R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера , 0<1.

Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.

Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .

Пример №37 (№106 из [10]).

Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение

Ряд сходится на интервале , как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид: . Составим ряд из производных:

.

Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то ряд сходится абсолютно.

Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .

Пример №38 (№109 из [10]).

Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.

Решение

Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

Так как , то ряд сходится абсолютно при R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию , приходим к неравенству . Итак, заданный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при R. Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:

.

Образование, педагогика, воспитание:

Типы учебных упражнений
Анализируя содержание существующих программ обучения, учебников для начальной школы можно отметить, что содержание программ нацелено на: - формирование у школьников приемов мыслительной деятельности (анализа, синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения); - на формирование умений д ...

Коррекционно-развивающее значение уроков ритмики в школе для детей с нарушением интеллекта
Занятиям ритмикой в школе VIII вида уделяется большое внимание, особенно со школьниками начальных классов. Естественно, в разные годы по программе «Физическая культура» для учащихся вспомогательных школ включались те или иные аспекты занятий ритмикой, в основном, для школьников начальных классов. И ...

Игры, развивающие речевое дыхание
Хорошо поставленное речевое дыхание обеспечивает правильное произношение звуков, слов и фраз. Для того чтобы научиться выговаривать многие звуки, ребенок должен делать достаточно сильный вдох через рот. Ниже приведены упражнения, в которых ребенку в игровой форме предлагается подуть на различные пр ...