Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Действительно, так как:

а) для R, N;

б) для R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера , 0<1.

Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.

Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .

Пример №37 (№106 из [10]).

Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение

Ряд сходится на интервале , как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид: . Составим ряд из производных:

.

Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то ряд сходится абсолютно.

Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .

Пример №38 (№109 из [10]).

Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.

Решение

Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

Так как , то ряд сходится абсолютно при R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию , приходим к неравенству . Итак, заданный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при R. Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:

.

Образование, педагогика, воспитание:

Описание экспериментального исследования креативности
Для проверки выдвинутой гипотезы нами было проведение пилотное экспериментальное исследование для трех экспериментальных групп. Исследование проходило с 11 сентября 2006 года по 10 мая 2007 года. Было составлена экспериментальная выборка участников исследования. Принцип формирования выборки – напра ...

Обучение в Австралии
Австралия в последние десятилетия вошла в число лидеров международного образовательного рынка. Обучение на «зеленом континенте» имеет много плюсов: английский в качестве государственного языка, высокий уровень жизни, возможность круглый год наслаждаться всеми прелестями теплого климата. Поэтому в э ...

Структура организаторской деятельности и ее особенности
Организаторская деятельность, будучи отнесенной к отдельному человеку, есть не что иное, как система взаимосвязанных действий (технологий), направленных на объединение групп людей для достижения общей цели. Особое место организаторская деятельность занимает в структуре целостной деятельности педаго ...