Действительно, так как:
а) для
R,
N;
б) для
R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера
, 0<1.
Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке
применить можно.
Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .
Пример №37 (№106 из [10]).
Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение
Ряд сходится на интервале
, как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:
. Составим ряд из производных:
.
Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е.
, то ряд
сходится абсолютно.
Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .
Пример №38 (№109 из [10]).
Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.
Решение
Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
Так как , то ряд
сходится абсолютно при
R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства
, т.е.
.
Так как неравенства и
равносильны, то, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию
, приходим к неравенству
. Итак, заданный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при
R. Члены ряда являются непрерывными функциями при
R.
Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:
.
Образование, педагогика, воспитание:
Воспитание и организация детей перед занятием
Подготовка детей к занятию, когда их внимание переключается от самостоятельной деятельности к учебной, имеет очень большое значение. Ее следует осуществлять так, чтобы не вызвать у ребенка огорчения из-за прерванной игры, заинтересовать содержанием предстоящего занятия. Основная воспитательная зада ...
Опытно-практическая работа с детьми
Уроки изобразительного искусства – это особые уроки и требования к ним особые. Они должны строиться по законам искусства. Приобщение учащихся к искусству в условиях школьного урока в осмысленной творческой деятельности – это первые шаги в «Храм искусства». Школьный учитель должен тонко чувствовать ...
Условия использования эвристической технологии в
образовательном процессе
Анализ психологических исследований по выявлению условий эвристической образовательной деятельности позволил установить три группы личностных качеств ученика, необходимых для её обеспечения: креативные, когнитивные и оргдеятельностные (методологические). Согласно обозначенным выше философским основ ...