Действительно, так как:
а) для R, N;
б) для R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера , 0<1.
Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.
Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .
Пример №37 (№106 из [10]).
Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение
Ряд сходится на интервале , как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид: . Составим ряд из производных:
.
Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е. , то ряд сходится абсолютно.
Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .
Пример №38 (№109 из [10]).
Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.
Решение
Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
Так как , то ряд сходится абсолютно при R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства , т.е.
.
Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию , приходим к неравенству . Итак, заданный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при R. Члены ряда являются непрерывными функциями при R.
Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:
.
Образование, педагогика, воспитание: