Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.

Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд

Решение

Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.

Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при , где при . Значит, сумма ряда при .

Следовательно, функциональный ряд сходится к при . Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке .

Для можно найти такое , что .

По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как , то и, значит, числовой ряд сходится.

Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке .

Следовательно, функциональный ряд на промежутке можно почленно продифференцировать:

, , т.е. сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема.

при .

Ответ: при .

Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда .

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е. . Неравенства и равносильны, значит, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству .

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие, функции и основные категории дидактики, дидактика высшей школы
По своему происхождению термин «дидактика» восходит к греческому языку, в котором «didaktikos» означает поучающий, а «didasko» - изучающий. Впервые ввел его в научный оборот немецкий педагог Вольфганг Ратке (1571-1635), в курсе лекций под названием «Краткий отчет из дидактики, или искусство обучени ...

Этнопедагогические традиционные методы семейного физического воспитания Якутов
В последнее время в Республике Саха (Якутия) сделано немало для сохранения и возрождения духовных, культурных ценностей, накопленных на протяжении жизни многих поколений народа Саха. Традиционный образ жизни, жизнь в гармонии с природой - это не только прошлое человечества, но в значительной его ча ...

Типы педагогических задач и их характеристика
По временному признаку принято различать три большие группы педагогических задач - стратегические, тактические и оперативные. Стратегические задачи - это своеобразные "сверхзадачи". Они определяют исходные цели и конечные результаты педагогической деятельности. В реальном педагогическом п ...