Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.

Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд

Решение

Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.

Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при , где при . Значит, сумма ряда при .

Следовательно, функциональный ряд сходится к при . Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке .

Для можно найти такое , что .

По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как , то и, значит, числовой ряд сходится.

Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке .

Следовательно, функциональный ряд на промежутке можно почленно продифференцировать:

, , т.е. сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема.

при .

Ответ: при .

Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда .

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е. . Неравенства и равносильны, значит, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству .

Образование, педагогика, воспитание:

Теоретические основы преподавания живописи пейзажа акварелью
Для преподавания живописи пейзажа акварелью на уроках изобразительного искусства необходимо для начала ознакомить учащихся с различными видами пейзажей, картинами художников и разными акварельными техниками. Необходимо начать с выполнения простых упражнений, небольших этюдов пейзажа, а также деталь ...

Особенности речи детей младшего школьного возраста по сравнению с нормально развивающимися сверстниками
В младшем школьном возрасте у детей с легкой степени умственной отсталости отмечается недоразвитие речи, которое характеризуется нарушением всех ее сторон: смысловой, грамматической, звуковой, а также ограниченностью и бедностью словаря. Произносительная сторона речи Недоразвитие речи прежде всего ...

Необходимость воспитания чувства юмора в дошкольном детстве
Дошкольное детство – это большой отрезок жизни ребенка. Условия жизни в это время стремительно расширяются: рамки семьи раздвигаются до пределов улицы, города, страны. Ребенок открывает для себя мир человеческих отношений, разных видов деятельности и общественных функций людей. Период дошкольного д ...