Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.

Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд

Решение

Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.

Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при , где при . Значит, сумма ряда при .

Следовательно, функциональный ряд сходится к при . Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке .

Для можно найти такое , что .

По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как , то и, значит, числовой ряд сходится.

Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке .

Следовательно, функциональный ряд на промежутке можно почленно продифференцировать:

, , т.е. сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема.

при .

Ответ: при .

Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда .

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е. . Неравенства и равносильны, значит, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству .

Образование, педагогика, воспитание:

Организация учебного процесса в коммуникативном направлении отечественной методики
В теоретических основах коммуникативного метода, разработанного Е.И. Пассовым, даются ссылки на теорию деятельности А.Н. Леонтьева, теорию речевого общения А.А. Леонтьева, теорию речевой деятельности И.А. Зимней, работы Л.С. Выготского, С.Л. Рубинштейна. Коммуникативный метод представляет условия и ...

Создание положительного эмоционального фона на уроке
Эмоциональный фон является важным фактором урока. Он возникает с момента ожидания учащимися урока физической культуры и существует на всем его протяжении. При этом эмоциональный настрой может изменяться по ходу урока в зависимости от самочувствия учащихся, проявляемого ими интереса к упражнению, в ...

Содержание элективных курсов по математике
Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержан ...