Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.
Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд
Решение
Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.
Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при
, т.е. при
, где
при
. Значит, сумма ряда
при
.
Следовательно, функциональный ряд сходится к
при
. Члены ряда
являются непрерывными функциями при
R.
Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке
.
Для можно найти такое
, что
.
По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как
, то
и, значит, числовой ряд
сходится.
Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке
.
Следовательно, функциональный ряд на промежутке
можно почленно продифференцировать:
,
, т.е. сумма функционального ряда
непрерывно дифференцируема.
при
.
Ответ: при
.
Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда .
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если
, т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства
, т.е.
. Неравенства
и
равносильны, значит, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию
, приходим к неравенству
.
Образование, педагогика, воспитание:
Общая характеристика детей с ограниченными возможностями, обучающихся в специальной
образовательной школе – интернат VIII вида
В словаре по социальной педагогике Л.В. Мардахаева, выделено понятие лицо с ограниченными возможностями – это лицо, имеющее физический и (или) психический недостатки, которые препятствуют освоению образовательных программ без создания специальных условий для получения образования. В учебнике Н.М. Н ...
Определения функциональной последовательности и функционального ряда
Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: . Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит о ...
Виды пальчиковых игр
У новорожденного ручки всегда сжаты в кулачки, и если взрослый вкладывает свои указательные пальцы в ладони ребенка, тот их плотно сжимает. Таким образом, малыша можно даже немного приподнять. По мере созревания мозга этот рефлекс переходит в умение хватать и отпускать. Пальчиковые игры интересны и ...