Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.
Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд
Решение
Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.
Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при
, т.е. при
, где
при
. Значит, сумма ряда
при
.
Следовательно, функциональный ряд сходится к
при
. Члены ряда
являются непрерывными функциями при
R.
Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке
.
Для можно найти такое
, что
.
По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как
, то
и, значит, числовой ряд
сходится.
Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке
.
Следовательно, функциональный ряд на промежутке
можно почленно продифференцировать:
,
, т.е. сумма функционального ряда
непрерывно дифференцируема.
при
.
Ответ: при
.
Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда .
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если
, т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства
, т.е.
. Неравенства
и
равносильны, значит, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию
, приходим к неравенству
.
Образование, педагогика, воспитание:
Изменчивость стиля
Объективированный стиль малоизменчив согласно своему происхождению. Главные иерархические уровни индивидуального стиля изменчивы в разной степени. В феномене "субъективно удобные условия деятельности" представлено осознанное и неосознанное отражение физиологически и психофизиологически ад ...
Игры и упражнения с предметами
В воспитании детей раннего возраста очень важным является обогащение и совершенствование чувственного опыта в процессе деятельности. Характерной для этой возрастной ступени деятельностью является деятельность предметная. Ее называют ведущей не только потому, что она преобладает, но и потому, что им ...
Формирование репродуктивных и рецептивных грамматических
навыков
Разный характер действий, лежащих в основе рецептивной и репродуктивной деятельности ставит на первое место задачу развития продуктивных и рецептивных грамматических навыков и умений, выработку грамматических механизмов речи. Поэтому упражнения занимают центральное место при обучении иностранному я ...