Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.
Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд
Решение
Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.
Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при
, т.е. при
, где
при
. Значит, сумма ряда
при
.
Следовательно, функциональный ряд сходится к
при
. Члены ряда
являются непрерывными функциями при
R.
Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке
.
Для можно найти такое
, что
.
По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как
, то
и, значит, числовой ряд
сходится.
Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке
.
Следовательно, функциональный ряд на промежутке
можно почленно продифференцировать:
,
, т.е. сумма функционального ряда
непрерывно дифференцируема.
при
.
Ответ: при
.
Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда .
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если
, т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства
, т.е.
. Неравенства
и
равносильны, значит, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию
, приходим к неравенству
.
Образование, педагогика, воспитание:
Технология организации развивающих видов деятельности учащихся
Универсальным исходным методом и основой технологии организации развивающих видов деятельности является педагогическое требование. Педагогическое требование является действенным средством в руках педагога только в том случае, если отвечает условиям педагогической целесообразности: соответствия тем ...
Принцип обеспечения межпредметных связей
Принцип обеспечения межпредметных связей состоит в выявлении взаимосвязей между компонентами учебного процесса, выделяемыми по предметному признаку. Согласование учебных предметов, как правило, обусловлено их содержанием. В процессе реализации межпредметных связей обеспечивается последовательность ...
Коммуникативно-прагматическая модель обучения английскому языку
Формирование межкультурной компетенции – это один из самых актуальных вопросов современной российской теории и практики обучения иностранному языку, так как выступает одной из важнейших целей мультикультурного образования и предусматривает наличие: –достаточной информированности о культурной специф ...