Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.
Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд
Решение
Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.
Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при , где при . Значит, сумма ряда при .
Следовательно, функциональный ряд сходится к при . Члены ряда являются непрерывными функциями при R.
Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке .
Для можно найти такое , что .
По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как , то и, значит, числовой ряд сходится.
Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке .
Следовательно, функциональный ряд на промежутке можно почленно продифференцировать:
, , т.е. сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема.
при .
Ответ: при .
Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда .
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е. . Неравенства и равносильны, значит, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству .
Образование, педагогика, воспитание: