Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.

Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд

Решение

Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.

Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при , где при . Значит, сумма ряда при .

Следовательно, функциональный ряд сходится к при . Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке .

Для можно найти такое , что .

По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как , то и, значит, числовой ряд сходится.

Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке .

Следовательно, функциональный ряд на промежутке можно почленно продифференцировать:

, , т.е. сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема.

при .

Ответ: при .

Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда .

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е. . Неравенства и равносильны, значит, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству .

Образование, педагогика, воспитание:

Задачи и содержание формирования культурно - гигиенических навыков у младших дошкольников
Большое значение в охране и укреплении здоровья ребёнка имеет гигиеническое воспитание и воспитание культуры поведения. В дошкольном учреждении гигиеническое воспитание детей заключается в рациональном использовании условий внешней среды, сообщения детям элементарных гигиенических сведений и формир ...

Современные психологические подходы в исследовании ИС
Психологами давно отмечались индивидуальные особенности в способах осуществления познавательных процессов и поведенческих актов. Такие различия рассматриваются в качестве оснований для более или менее развернутых классификаций типов людей. Развивая представления И.П. Павлова о типах нервной системы ...

Общая характеристика процесса воспитания
Понятие «воспитание» является одним из центральных понятий в педагогике. От того, как производится трактовка этого термина, зависит многое в последующем анализе и понимании сущности спрятанного за данным словом явления. Исходное значение слово «воспитание» обусловлено корневой частью слова: «воспит ...