Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Преподаватель: Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании можно использовать при нахождении суммы ряда.

Пример №34 (№ 112 из [8], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда , продифференцировав почленно ряд

Решение

Почленно продифференцировать функциональный ряд возможно, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд составленный из производных членов его ряда, сходится равномерно на данном промежутке.

Функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при , где при . Значит, сумма ряда при .

Следовательно, функциональный ряд сходится к при . Члены ряда являются непрерывными функциями при R.

Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке .

Для можно найти такое , что .

По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как , то и, значит, числовой ряд сходится.

Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке .

Следовательно, функциональный ряд на промежутке можно почленно продифференцировать:

, , т.е. сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема.

при .

Ответ: при .

Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Найти сумму ряда .

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е. . Неравенства и равносильны, значит, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству .

Образование, педагогика, воспитание:

Материалы и оборудование для работы акварелью
Акварель – прекрасный материал для работы на пленере. Она дает возможность быстро и точно передать состояние природы. Этюды акварелью пишутся в технике «а-ля прима» или «по-сырому». Основой для акварели является бумага, которую часто предварительно смачивают водой для достижения особой размытой фор ...

Глобализация высшего образования в Европе: предболонский период
Первый период – 1957 – 1982 годы. Конференция министров образования в 1971 году обозначила пять основных моментов общеевропейского измерения в образовательных системах: взаимное признание дипломов; обоснование идеи формирования европейского университета; кооперация вторичного и высшего образования; ...

Дидактические процессы в предмете физическая культура
Спорт – это значимое социальное явление, несмотря на это он совсем недавно попал в область внимания социологов. До сих пор существует мнение, что он прерогатива спортивных наук. Все же сегодня большинство исследователей согласны с тем, что его нужно изучать не только с точки зрения физкультурной те ...