Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .
Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.
Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд
на абсолютную и равномерную сходимость. Для
можно найти такое
, что
. По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем:
, так как
, то числовой ряд сходится абсолютно.
Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при
.
Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.
Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:
.
Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с
.
Тогда и
при
.
Итак, сумма ряда при
, т.е.
.
Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при
, и функция
непрерывна при
. Значит, ряд
можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от
до
, находим
при
.
Ответ: при
.
В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.
Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.
Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].
Ниже приведены решенные номера домашнего задания:
Пример №36 (№95 из [10]).
Можно ли к ряду
Образование, педагогика, воспитание:
Психология сказки. Толкование волшебных сказок. Психологический смысл мотива
искупления в волшебной сказке
Как видите, даже далеко не полный перечень определений сказки позволяет увидеть и разнообразие подходов, и почти полностью совпадающие взгляды. Обращает на себя внимание, что авторы толковых словаре обычно говорят о фольклорном происхождении сказки, но не фиксирует в определении такой вид сказки, к ...
Диагностика двинательной активности детей дошкольного возраста
Определение объема двигательной активности производится при помощи механического и электронного шагомера. Для измерения естественной дневной двигательной активности шагомер надевается всем детям и снимается в определенный временной диапазон (например, с 8 до 17 или 19). В этот день не следует стиму ...
Игры, способствующие развитию понимаемой речи
В первом полугодии второго года жизни особое внимание уделяется формированию понимания речи взрослого. В этот период малыш пополняет словарь названиями окружающих предметов и действий с ними, овладевая смысловой стороной речи. Особую роль играет чувственный опыт, получаемый при непосредственном кон ...