Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .

Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.

Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд на абсолютную и равномерную сходимость. Для можно найти такое , что . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.

Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:

.

Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с .

Тогда и при .

Итак, сумма ряда при , т.е. .

Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при , и функция непрерывна при . Значит, ряд можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от до , находим

при .

Ответ: при .

В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.

Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.

Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].

Ниже приведены решенные номера домашнего задания:

Пример №36 (№95 из [10]).

Можно ли к ряду

Образование, педагогика, воспитание:

Характеристика элементов техники игры в хоккей
Техника хоккея включает в себя конькобежную подготовку (перемещение на коньках), а также технику владения клюшкой и шайбой (держание клюшки, ведение, бросание и остановку шайбы). Игроки скользят по льду на коньках и пытаются клюшками забить шайбу в ворота противника. Дети должны уметь бегать на кон ...

Игра как средство развития общения со сверстниками детей старшего дошкольного возраста
Психологическая теория деятельности в рамках теоретических воззрений. Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева выделяет три основных вида человеческой деятельности – трудовую, игровую и учебную. Все виды тесно взаимосвязаны. Анализ психолого-педагогической литературы по теории возникновения игры в целом поз ...

Антонимы в русском языке
Особое место в русском языке занимают антонимы - слова, противоположные по значению. Антонимия отражает существенную сторону системных связей в русской лексике. Современная наука о языке рассматривает синонимию и антонимию как крайние, предельные случаи взаимозаменяемости и противопоставленности сл ...