Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.

Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.

Пример №39 (№115 из [10]).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).

Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .

Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .

Ответ: при .

Пример №40 (№119 из [10])

Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.

Решение

Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .

Образование, педагогика, воспитание:

Методические рекомендации по подбору дидактических игр и руководство ими
Подбор дидактических игр для обучения детей математике проводится в соответствии с программными требованиями. Каждая дидактическая игра должна быть направлена на решение той или иной учебной задачи. При подборе игр необходимо учитывать особенности участия в них детей, интерес к различным играм и уп ...

Принцип связи с жизнью, личным опытом учащихся
В преподавании происхождения сущности государства и права учителю важно опираться на жизненные факты, близкие ученикам, тем самым реализуется принцип связи с жизнью, личным опытом учащихся, который предполагает расширение, углубление и обогащение правовых знаний учащихся и одновременно избавление у ...

Игры, способствующие развитию понимаемой речи
В первом полугодии второго года жизни особое внимание уделяется формированию понимания речи взрослого. В этот период малыш пополняет словарь названиями окружающих предметов и действий с ними, овладевая смысловой стороной речи. Особую роль играет чувственный опыт, получаемый при непосредственном кон ...