Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.
Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.
Пример №39 (№115 из [10]).
Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.
Решение
Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:
а) для R, N;
б) при R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).
Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .
Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .
Ответ: при .
Пример №40 (№119 из [10])
Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.
Решение
Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .
Образование, педагогика, воспитание:
Модели личностно-ориентированной педагогики
С методологической точки зрения удобно воспользоваться подходом И.С. Якиманской, которая считает, что все «существующие модели личностно-ориентированной педагогики можно условно разделить на три группы: социально-педагогическая, предметно-дидактическая, психологическая» (Якиманская И.С 1995). Социа ...
Цели профессионального образования
Цели профессионального образования выполняют системообразующую функцию в педагогической деятельности. Именно от выбора целей в наибольшей степени зависит выбор содержания, методов и средств обучения и воспитания. Виды педагогических целей многообразны. Можно выделить нормативные государственные цел ...
История «личностной компоненты» образования в отечественной педагогике
В конце XIX –начале XX веков в России получили определенное распространение идеи свободного воспитания – «первого варианта» индивидуально-ориентированной педагогики. У истоков российского варианта школы свободного воспитания стоял Л.Н. Толстой. Именно ему принадлежит разработка теоретических и прак ...