Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.

Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.

Пример №39 (№115 из [10]).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).

Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .

Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .

Ответ: при .

Пример №40 (№119 из [10])

Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.

Решение

Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .

Образование, педагогика, воспитание:

Цели обучения иностранному языку
Под «целью» принято понимать идеальный образ планируемого результата, закодированный в мозгу «образ потребного будущего», «пусковой механизм всякой деятельности». Цель – то, к чему стремятся, что намечено достигнуть, предел, намерение, которое должно осуществить. Цель – это планируемый результат. Ц ...

Методика применения дидактических игр на уроках математики в первом классе
Для младшего школьного возраста учение – новое и непривычное дело. Поэтому при знакомстве со школьной жизнью игра способствует снятию барьера между «внешним миром знания» и психикой ребёнка. Игровое действие позволяет осваивать то, что заранее вызывает у младшего школьника страх неизвестности, пост ...

Содержание и экспериментальное обоснование роли семейного физического воспитания в малокомплектной школе
На констатирующем этапе эксперимента мы провели диагностическую работу, которая состояла из двух частей: 1. Выявление потенциала семьи в формировании здорового смысла посредством традиционного семейного физического воспитания. 2. Изучение исходного уровня физической подготовленности школьников. Дан ...