Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при
R. Следовательно, ряд
расходится.
Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.
Пример №39 (№115 из [10]).
Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке
, написать полученный при этом ряд.
Решение
Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке
, если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для
R, значит, и на отрезке
.
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:
а) для
R,
N;
б) при
R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с
).
Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке
.
Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке
.
Ответ: при
.
Пример №40 (№119 из [10])
Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.
Решение
Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
При ряд примет вид
. Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е.
и
.
Образование, педагогика, воспитание:
Я-концепция и технология построения имиджа педагога
Формирование Я-концепции человека происходит при накоплении опыта решения жизненных задач и при оценивании их со стороны других людей. Внутренняя структура имиджа также содержит три похожие составляющие. Следует их рассмотреть. Первая часть внутренней структуры - это представление человека о себе с ...
Общая характеристика индивидуальной речевой деятельности в концепции И.А.
Зимней
Внутренний механизм, управляющий видами речевой деятельности, это – Высшая интегративная вербально-коммуникативная функция человека (ВКФ), которой выражается единство сознания и деятельности индивида, как системная целостность способностей когнитивной, и языковой форм сознания. ВКФ – интегративная ...
Практическая деятельность по психофизическому
развитию детей В ДОУ
Физическому развитию и здоровью отводятся ведущие позиции, поэтому для создания педагогической оздоровительной системы в любом дошкольном учреждении необходимо придерживаться следующих основных направлений: создать условия для двигательной деятельности, эмоционального, -интеллектуального, социально ...