Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.

Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.

Пример №39 (№115 из [10]).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).

Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .

Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .

Ответ: при .

Пример №40 (№119 из [10])

Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.

Решение

Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .

Образование, педагогика, воспитание:

Варианты решения и постановки проблемы
Существуют различные варианты постановки и решения проблемы. 1. Проблему решает педагог Педагог ставит проблему или проблемы, и сам их решает, излагая лекционный материал. При такой форме проведения занятия учащиеся внешне пассивны, но внутри каждого из них могут интенсивно протекать процессы поним ...

Методикаформирования представлений о домашних животных у детей раннего возрастасредствами дидактической игры
Провели диагностику предложенную Е.В. Гончаровой и Л.В. Моисеевой. В процессе индивидуальных бесед малышам демонстрировались дидактические картинки игрушки-модели. Анализируя уровень знаний детей о животных, обращали внимание на следующие критерии: 1. Узнавание и называние животного. 2. Знание особ ...

Технологии обучения истории
В методической литературе на сегодняшний день довольно мало информации о новейших технологиях преподавания Автор настоящей работы приводит наиболее доступные данные. Технология - это совокупность форм, методов, приемов и средств, применяемых в какой-либо деятельности. (См. А.В. Хуторской "Мето ...