Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.

Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.

Пример №39 (№115 из [10]).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).

Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .

Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .

Ответ: при .

Пример №40 (№119 из [10])

Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.

Решение

Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .

Образование, педагогика, воспитание:

Структура и классификация современного урока истории
Под структурой урока понимается сочетание определенных звеньев процесса обучения, обусловленное дидактической целью занятия и реализованное в конкретном типе урока. Структурные компоненты урока охарактеризованы ниже в порядке их использования в учебном процессе: 1. Организационный момент складывает ...

Характеристика современной системы эвристической технологии в образовательном процессе
Внутренняя потребность в творческой деятельности рассматривается психологами и педагогами как объективная закономерность развития личности. По утверждению Г.К. Селевко, творчество - норма детского развития, склонность к творчеству вообще присуща любому ребенку. Однако, принимая участие в творческой ...

Развитие российского законодательства в области образования
Преемственность образовательных традиций в современной российской высшей школе требует изучения истории становления российского образовательного права. Законов прямого действия в области образования, по существу, в Российской Федерации до 1992 года не было. Современное образовательное право возникл ...