Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.

Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.

Пример №39 (№115 из [10]).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).

Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .

Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .

Ответ: при .

Пример №40 (№119 из [10])

Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.

Решение

Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .

Образование, педагогика, воспитание:

Система работы воспитателя, направленная на полоролевую социализацию детей среднего дошкольного возраста
Задача формирующего эксперимента заключалась в том, чтобы путём специально организованных мероприятий положительным образом влиять на культуру общения, поведения, взаимоотношения между мальчиками и девочками. 1. Мы разработали систему работы воспитателя, направленную на полоролевую социализацию дет ...

Понятие и структура воспитательной системы и воспитательного процесса в исправительном учреждении
Воспитательный процесс в пенитенциарных учреждениях имеет своей целью исправление и перевоспитание лиц совершивших преступления, осужденных к лишению свободы. Этот процесс представляет собой весьма сложную систему мер, осуществляемых по отношению к осужденным, отбывающим наказание в виде лишения св ...

Разработка плана исследования особенностей образовательной сети школ г. Березовского
В настоящий момент для введения профильного образования у школ г. Березовского отсутствует информированность об его внедрении. Школы не против того, чтобы ввести профильное обучение. Объектом исследования является сегодняшнее состояние образовательных учреждений. Предметом исследования являются: 1) ...