Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.

Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.

Пример №39 (№115 из [10]).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).

Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .

Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .

Ответ: при .

Пример №40 (№119 из [10])

Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.

Решение

Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .

Образование, педагогика, воспитание:

Роль картинки в развитии речи детей дошкольного возраста
Особую роль картинки в развитии ребенка и в развитии речи детей дошкольного возраста отводила Е.И. Тихеева. Она описала что картинам как фактору умственного развития ребенка должно быть отведено почетное место с первых лет его жизни. Мы знаем, какое громадное значение имеют опыт и личное наблюдение ...

Практическая деятельность по психофизическому развитию детей В ДОУ
Физическому развитию и здоровью отводятся ведущие позиции, поэтому для создания педагогической оздоровительной системы в любом дошкольном учреждении необходимо придерживаться следующих основных направлений: создать условия для двигательной деятельности, эмоционального, -интеллектуального, социально ...

Фонетические факторы внятности
Наряду с общими требованиями к внятности и членораздельности, следует иметь в виду и ряд вытекающих из них частных требований, касающихся разных сторон фонетического оформления речи, а именно: голоса, фонетического облика слова (включая их фонематический состав, слоговый ритм, ударение, орфоэпию), ...