применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?
Решение
Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.
Рассмотрим заданный функциональный ряд :
a) члены ряда являются непрерывными функциями для R,
N;
б) так как при
R,
N, то справедливо неравенство
при
R,
N;
в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с
);
г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
R по признаку Вейерштрасса.
Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда
.
Исследуем полученный функциональный ряд:
a) члены ряда являются непрерывными функциями для R,
N;
б) так как при
R,
N, то справедливо неравенство
при
R,
N;
в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с
);
г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
R по признаку Вейерштрасса.
Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.
Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.
Пример №36 (№96 из [10]).
Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке
?
Решение
Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке
, если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для
R.
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .
Образование, педагогика, воспитание:
Использование видеометода в современном воспитательном
процессе
Одним из важнейших направлений модернизации современного образования является обеспечение условий для развития индивидуальности ребёнка. Современная школа выбирает стратегическую идею – воспитание высоконравственной личности, гуманной, способной мыслить и понимать окружающий мир. В связи с этим в н ...
Международные документы о правах ребенка
Благополучие детей и их права всегда вызывали пристальное внимание международного сообщества. Еще в 1924 году Лига Наций приняла Женевскую декларацию прав ребенка. В то время права детей рассматривались в основном в контексте мер, которые необходимо было принять в отношении рабства, детского труда, ...
Система образования Ирландии
В Ирландии действует более 3000 начальных, свыше 800 средних, более 150 языковых школ, 14 технологических институтов, несколько частных педагогических и бизнес-колледжей, семь университетов. Все учебные заведения контролируются на государственном уровне специальными органами, которые следят за соот ...