Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?

Решение

Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.

Рассмотрим заданный функциональный ряд :

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда

.

Исследуем полученный функциональный ряд:

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.

Пример №36 (№96 из [10]).

Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке ?

Решение

Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке , если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R.

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .

Образование, педагогика, воспитание:

Разработка письменного инструктирования
Письменное инструктирование является одним из методических приемов проведения основной части урока производственного обучения в мастерской. Этот прием позволяет наладить самостоятельную работу учащихся по выполнению учебного задания. Нам известно четыре основных вида документации письменного инстру ...

Характеристика быстроты как двигательного качества
Хоккей является средством развития быстроты. Быстрота — способность человека совершать те или иные действия, физические упражнения в минимальный для данных условий отрезок времени. Быстрота — способность человека выполнять движения в наикратчайшее время. Высокая пластичность и большая подвижность н ...

Анализ учебно-методических пособий для проведения элективных курсов по математике
В настоящее время литературы, связанной с элективными курсами сравнительно немного, так как данные курсы вошли в жизнь школы сравнительно недавно, и многие учителя (как показал анализ анкет) не проводят их, то есть нет опыта преподавания в данной области. Мы обратились к анализу учебных пособий по ...