Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?

Решение

Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.

Рассмотрим заданный функциональный ряд :

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда

.

Исследуем полученный функциональный ряд:

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.

Пример №36 (№96 из [10]).

Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке ?

Решение

Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке , если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R.

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .

Образование, педагогика, воспитание:

Обследование эмоциональной сферы ребенка
Приведенные задания позволяют исследовать эмоциональное развитие детей (в пределах обозначенных эмоций). Если во время выполнения заданий у ребенка проявляются замкнутость, резкая смена настроения, частые вспышки раздражения, гнева, то это свидетельствует о том, что ему необходимы внимание и особый ...

Разработка плана исследования особенностей образовательной сети школ г. Березовского
В настоящий момент для введения профильного образования у школ г. Березовского отсутствует информированность об его внедрении. Школы не против того, чтобы ввести профильное обучение. Объектом исследования является сегодняшнее состояние образовательных учреждений. Предметом исследования являются: 1) ...

Особенности работы над внятностью устной речи неслышащих учащихся
На основе проведенного нами исследования мы можем предложить следующие методические рекомендации. Учитывая, что важными компонентами внятности речи являются словесное ударение, голос, умение членить фразы паузами и т.д. при работе над развитием внятности следует обращать внимание на те аспекты, кот ...