применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?
Решение
Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.
Рассмотрим заданный функциональный ряд :
a) члены ряда являются непрерывными функциями для R,
N;
б) так как при
R,
N, то справедливо неравенство
при
R,
N;
в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с
);
г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
R по признаку Вейерштрасса.
Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда
.
Исследуем полученный функциональный ряд:
a) члены ряда являются непрерывными функциями для R,
N;
б) так как при
R,
N, то справедливо неравенство
при
R,
N;
в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с
);
г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
R по признаку Вейерштрасса.
Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.
Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.
Пример №36 (№96 из [10]).
Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке
?
Решение
Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке
, если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для
R.
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .
Образование, педагогика, воспитание:
Организация внеклассной работы
Общее руководство работой коллектива физической культуры возлагается на учителя физической культуры, а руководство кружком — на одного из учителей начальных классов. В кружок и коллектив физической культуры учащиеся вступают добровольно, для этого достаточно устного заявления. На общем собрании чле ...
Технология развития познавательной активности учащихся на уроках биологии
В качестве примера по выявлению педагогических условий развития познавательной активности учащихся на уроках биологии представлены 2 конспекта урока, проведенных нами в 8 «А» классе лицея №3 города Оренбурга. Нами взяты конспекты именно этих уроков, так как здесь четко прослеживаются педагогические ...
Дидактические материалы и методика их использования
Дидактические материалы подразделяются на: а) фабричные (самостоятельные и контрольные работы по 4-6 вариантам); б) самодельные: карточки для индивидуальной работы (для сильных и слабых учеников), карточки для фронтальной работы, карточки для устного счёта. Назначение “Дидактических материалов”: по ...