Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?

Решение

Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.

Рассмотрим заданный функциональный ряд :

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда

.

Исследуем полученный функциональный ряд:

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.

Пример №36 (№96 из [10]).

Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке ?

Решение

Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке , если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R.

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .

Образование, педагогика, воспитание:

Общая характеристика индивидуальной речевой деятельности в концепции И.А. Зимней
Внутренний механизм, управляющий видами речевой деятельности, это – Высшая интегративная вербально-коммуникативная функция человека (ВКФ), которой выражается единство сознания и деятельности индивида, как системная целостность способностей когнитивной, и языковой форм сознания. ВКФ – интегративная ...

Задачи и содержание словарной работы
Методика словарной работы в начальной школе предусматривает следующие направления: 1) обогащение словаря, т. е. усвоение новых, ранее неизвестных учащимся слов. Причем установлено, что ежедневно учащийся должен прибавлять к своему словарю на уроках родного языка 4— 6 слов; 2) уточнение словаря, т. ...

Типы педагогических задач и их характеристика
По временному признаку принято различать три большие группы педагогических задач - стратегические, тактические и оперативные. Стратегические задачи - это своеобразные "сверхзадачи". Они определяют исходные цели и конечные результаты педагогической деятельности. В реальном педагогическом п ...