Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?

Решение

Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.

Рассмотрим заданный функциональный ряд :

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда

.

Исследуем полученный функциональный ряд:

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.

Пример №36 (№96 из [10]).

Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке ?

Решение

Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке , если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R.

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .

Образование, педагогика, воспитание:

Технологии преподавания происхождения сущности государства и права в современной школе
Динамичность общественной жизни диктует потребность в изменениях даже, казалось бы, универсальных форм обучения. Например, с течением определенного времени специалисты, анализирующие опыт преподавания происхождения сущности права и государства в современной школе, пришли к выводу о недопустимости о ...

Значение речи для развития познавательных процессов, эмоционального и социального развития детей с нарушениями слуха
Проблемы, связанные с определением значения речи для развития мышления и рассмотрением взаимодействия речи и мышления, подвергались обсуждению уже в античной философии. В соответствии с монистической моделью Платона, влияние которой сказывается до настоящего времени в различных направлениях бихевио ...

Компетентностный подход в подготовке специалиста. Государственный образовательный стандарт 3-го поколения
Учебные цели 1. Знать основные структурные компоненты педагогического процесса в вузе. 2. Знать специфику понятий – компетенция и компетентность, 3. Иметь представление об истории и особенностях компетентностного подхода в профессиональном образовании Отводимое время – 2 часа План лекции 1. Совреме ...