Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).
Можно ли к ряду
применить теорему о почленном дифференцировании рядов?
Решение
Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.
Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом
при любом фиксированном
.
Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при
R в соответствии с признаком Вейерштрасса.
Действительно, при R справедливо неравенство
. А положительный числовой ряд
является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с
).
Обозначим общие элементы сравниваемых рядов
Так как при
и
- бесконечно малые величины, то
. В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел
, то оба ряда
и
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Но ряд абсолютно и равномерно сходится для
R, значит, функциональный ряд
сходится равномерно и абсолютно при
. Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при
R.
Найдем производную общего элемента функционального ряда
:
.
Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:
.
Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.
Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.
Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства:
. Но числовой положительный ряд
сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с
. В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд
при
R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.
Образование, педагогика, воспитание:
Дидактические материалы и методика их использования
Дидактические материалы подразделяются на: а) фабричные (самостоятельные и контрольные работы по 4-6 вариантам); б) самодельные: карточки для индивидуальной работы (для сильных и слабых учеников), карточки для фронтальной работы, карточки для устного счёта. Назначение “Дидактических материалов”: по ...
Средний этап обучения
Работа с аутентичным текстом организуется так, что упражнения перестают быть упражнениями, а становятся речевой ситуацией и выполняются часто в форме игры, в том числе ролевой, группами, индивидуально, коллективно. Рассмотрим технологию работы со следующими типами текстов: текст-образец; рассказ; п ...
Современные подходы к организации наглядного метода
обучения
Проблема использования наглядности на уроках истории является «вечной». Всплеск интереса к этой теме в методической литературе и создание комплектов наглядных пособий для школы пришлись на вторую половину XX века (Н.И. Аппарович, Г.И. Годер, П.В. Гора, Г.М. Донской, Ф.П. Коровкин, Д.Н. Никифоров и ...