Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).
Можно ли к ряду
применить теорему о почленном дифференцировании рядов?
Решение
Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.
Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом
при любом фиксированном
.
Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при
R в соответствии с признаком Вейерштрасса.
Действительно, при R справедливо неравенство
. А положительный числовой ряд
является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с
).
Обозначим общие элементы сравниваемых рядов
Так как при
и
- бесконечно малые величины, то
. В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел
, то оба ряда
и
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Но ряд абсолютно и равномерно сходится для
R, значит, функциональный ряд
сходится равномерно и абсолютно при
. Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при
R.
Найдем производную общего элемента функционального ряда
:
.
Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:
.
Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.
Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.
Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства:
. Но числовой положительный ряд
сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с
. В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд
при
R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.
Образование, педагогика, воспитание:
Организация учебного процесса и управление образованием
Учебный год в Республике Корея начинается 2 марта. В году выделяются триместры, чётко разграниченные каникулами; каникулы с 20 июня по 25 августа, две недели в конце ноября – начале декабря и весь февраль. В высших учебных заведениях летние каникулы совпадают со школьными, а зимние – с 10 декабря п ...
Влияние ИЗО искусства на формирование полноценности речи
Развитие речи учащихся на уроках рассматривается нами с позиции неразрывной связи интеллекта, эмоциональной сферы и личности в целом. Коммуникативно-деятельностный подход к развитию речи, осуществляемый на этих уроках, предполагает учет структуры речевой деятельности, развитие различных ее видов. О ...
Эффективность презентаций на уроках окружающего мира
Предмет» Окружающий мир» в начальной школе – сложный, но очень интересный и познавательный. И для того, чтобы интерес к предмету не угас, необходимо сделать урок занимательным, творческим. Здесь на помощь приходят информационно-коммуникационные технологии. Использование ИКТ на уроках окружающего ми ...