Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).

Можно ли к ряду

применить теорему о почленном дифференцировании рядов?

Решение

Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.

Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом при любом фиксированном .

Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса.

Действительно, при R справедливо неравенство . А положительный числовой ряд является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с ).

Обозначим общие элементы сравниваемых рядов Так как при и - бесконечно малые величины, то . В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Но ряд абсолютно и равномерно сходится для R, значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при . Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при R.

Найдем производную общего элемента функционального ряда

: .

Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:

.

Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.

Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.

Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства: . Но числовой положительный ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с . В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд при R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.

Образование, педагогика, воспитание:

Дидактические материалы и методика их использования
Дидактические материалы подразделяются на: а) фабричные (самостоятельные и контрольные работы по 4-6 вариантам); б) самодельные: карточки для индивидуальной работы (для сильных и слабых учеников), карточки для фронтальной работы, карточки для устного счёта. Назначение “Дидактических материалов”: по ...

Средний этап обучения
Работа с аутентичным текстом организуется так, что упражнения перестают быть упражнениями, а становятся речевой ситуацией и выполняются часто в форме игры, в том числе ролевой, группами, индивидуально, коллективно. Рассмотрим технологию работы со следующими типами текстов: текст-образец; рассказ; п ...

Современные подходы к организации наглядного метода обучения
Проблема использования наглядности на уроках истории является «вечной». Всплеск интереса к этой теме в методической литературе и создание комплектов наглядных пособий для школы пришлись на вторую половину XX века (Н.И. Аппарович, Г.И. Годер, П.В. Гора, Г.М. Донской, Ф.П. Коровкин, Д.Н. Никифоров и ...