Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).
Можно ли к ряду
применить теорему о почленном дифференцировании рядов?
Решение
Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.
Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом
при любом фиксированном
.
Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при
R в соответствии с признаком Вейерштрасса.
Действительно, при R справедливо неравенство
. А положительный числовой ряд
является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с
).
Обозначим общие элементы сравниваемых рядов
Так как при
и
- бесконечно малые величины, то
. В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел
, то оба ряда
и
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Но ряд абсолютно и равномерно сходится для
R, значит, функциональный ряд
сходится равномерно и абсолютно при
. Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при
R.
Найдем производную общего элемента функционального ряда
:
.
Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:
.
Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.
Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.
Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства:
. Но числовой положительный ряд
сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с
. В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд
при
R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.
Образование, педагогика, воспитание:
Методические рекомендации по подбору дидактических игр и руководство ими
Подбор дидактических игр для обучения детей математике проводится в соответствии с программными требованиями. Каждая дидактическая игра должна быть направлена на решение той или иной учебной задачи. При подборе игр необходимо учитывать особенности участия в них детей, интерес к различным играм и уп ...
Актуальность профильного обучения
Профильное обучение имеет вековую историю, но и в настоящее время оно не потеряло своей актуальности, так как: 1. Профилизация обучения в старших классах соответствует структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников (социологические исследования показывают: больше 70% ш ...
Понятие предметно-развивающий среды и ее влияние на развитие игры-драматизации
в старшем дошкольном возрасте
Проблема среды рассматривалась в трудах М.Я. Басова, П.П. Блонского, А.Б. Залкина и других. Уже в 1927 году ставится вопрос о роли среды в процессе развития ребенка на первом педагогическом съезде, где были сделаны следующие выводы: Среда является лишь фактором, содействующим процессу развертывания ...