Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .
Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).
С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд
сходится равномерно в промежутке .
Решение
Так как при
R и числовой положительный ряд
сходится, как обобщенный гармонический ряд с
, то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.
Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).
Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке
.
Решение
Если , то
. Значит, числовой положительный ряд
является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем:
, так как
, то числовой ряд сходится абсолютно.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при
равномерно и абсолютно.
Если , то ряд примет вид
- сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Если , то ряд примет вид
- сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).
Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.
Решение
Так как при
N и
R, то в качестве мажорантного ряда выберем
- числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд
по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как
при
R
Образование, педагогика, воспитание:
Особенности развития речи детей с фонетико-фонематическим недоразвитием
Психолого-педагогический подход к анализу речевых нарушений является приоритетным направлением отечественной логопедии. В рамках этого направления анализируется развитие языка у детей с речевыми нарушениями. Проведенный в 60-х годах лингвистический анализ речевых нарушений у детей, страдающих разны ...
Психолого-педагогическое обоснование использования
наглядного метода обучения
Наглядность – это свойство, выражающее степень доступности и понятности психических образов объектов познания для познающего субъекта. В процессе создания образа восприятия объекта наряду с ощущением участвуют память и мышление. Образ воспринимаемого объекта является наглядным только тогда, когда ч ...
Концепция обучения сельских школьников на основе интегративно-дифференцированного подхода
Актуальность разработанной концепции определяется рядом тенденций, выявленных на основании анализа исследований по проблемам обучения в сельских школах, результатов деятельности сельских школ в условиях современной социально-экономической ситуации, наблюдений практики обучения в них. Такими тенденц ...