Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .
Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).
С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд
сходится равномерно в промежутке .
Решение
Так как при
R и числовой положительный ряд
сходится, как обобщенный гармонический ряд с
, то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.
Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).
Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке
.
Решение
Если , то
. Значит, числовой положительный ряд
является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем:
, так как
, то числовой ряд сходится абсолютно.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при
равномерно и абсолютно.
Если , то ряд примет вид
- сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Если , то ряд примет вид
- сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).
Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.
Решение
Так как при
N и
R, то в качестве мажорантного ряда выберем
- числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд
по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как
при
R
Образование, педагогика, воспитание:
Учебные кинофильмы на уроках
Учебное кино – самое популярное из всех технических средств обучения, применяемое в рамках видеометода. Учебное кино можно с успехом включать в урок в тех случаях, когда необходимо: показать (или смоделировать) явления и процессы (реже предметы), увидеть которые невозможно вообще или без особой тех ...
Роль устной речи в жизнедеятельности человека
Лингвистика рассматривает такое явление как язык в двух аспектах — язык и речь. При рассмотрении языка имеется ввиду определенная система, которая находится вне человека и осуществляется независимо от него. Говоря о речи, имеется ввиду речевая деятельность. С точки зрения психологии (А.А. Леонтьев, ...
Изучение народного искусства в начальной школе на уроках изобразительного
искусства; влияние русской народной игрушки на формирование личности ребенка
В настоящее время многие аспекты освоения народного и декоративно- прикладного искусства в школе изучены достаточно полного и глубоко. Аспекты освоения народного искусства у школьников происходит на уроках декоративного рисования Содержание художественного – эстетического образования, основанное на ...