Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .

Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).

С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд

сходится равномерно в промежутке .

Решение

Так как при R и числовой положительный ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с , то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.

Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке .

Решение

Если , то . Значит, числовой положительный ряд является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при равномерно и абсолютно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Так как при N и R, то в качестве мажорантного ряда выберем - числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как при R

Образование, педагогика, воспитание:

Психолого-педагогические условия развития общения со сверстниками у детей старшего дошкольного возраста
Дошкольный возраст, по мнению А. Н. Леонтьева, - это период первоначального фактического склада личности. Именно в это время происходит становление основных личностных механизмов и образований. Развиваются тесно связанные друг с другом эмоциональная и мотивационная сферы, формируется самосознание. ...

Понятие педагогической технологии
В педагогической и психологической литературе часто встречается понятие "технология", пришедшее к нам вместе с развитием компьютерной техники и внедрением новых компьютерных технологий. В педагогической науке появилось специальное направление - педагогическая технология. Это направление з ...

Учреждения социального обслуживания, профилактики и реабилитации семьи и детей
В нашей стране в 1992 г. правительство принимает постановление "О первоочередных мерах по созданию государственной системы социальной помощи семье", которая включает экономическую, правовую, медицинскую, психологическую и педагогическую помощь. Социальная политика проявилась в выплате пос ...