Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .

Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).

С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд

сходится равномерно в промежутке .

Решение

Так как при R и числовой положительный ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с , то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.

Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке .

Решение

Если , то . Значит, числовой положительный ряд является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при равномерно и абсолютно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Так как при N и R, то в качестве мажорантного ряда выберем - числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как при R

Образование, педагогика, воспитание:

Реализация технологии физического воспитания в работе с детьми 5–6 лет с задержкой психического развития
В РФ действуют специальные образовательные учреждения I-VШ видов. Для обучения и воспитания детей с ЗПР организуются учреждения VII вида: детский сад компенсирующего вида с приоритетным осуществлением квалифицированной коррекции в физическом и психическом развитии воспитанников; детский сад комбини ...

Роль и место самостоятельного домашнего чтения в обучении учащихся старших классов иностранному языку
Чтение на иностранном языке как опосредованная форма общения предоставляет возможности для расширения кругозора учащихся за счёт познавательной информации, заложенной в текстах, для воздействия на их интересы, чувства и эмоции. Как справедливо отмечает Л.А. Чернявская, оно оказывает влияние на разв ...

Использование видеометода в современном учебном процессе
В современной школе значительно расширился арсенал средств обучения, повседневно применяемых учителем в учебно-воспитательной работе. Педагогический принцип наглядности обучения требует постоянного совершенствования средств обучения, использования в школе наглядных пособий, соответствующих уровню р ...