Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.

Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве .

Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.

Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).

Показать, что ряд

сходится равномерно при всех действительных значениях .

Решение

Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству . Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке при всех .

Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.

Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Исследовать на равномерную сходимость ряд

на любом конечном интервале.

Решение

Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом , т.е. .

Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при , получаем числовой ряд: .

Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как , то ряд сходится, причем абсолютно.

Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при .

Образование, педагогика, воспитание:

Цели и формы музыкального образования в европейской истории образования
Музыкальное образование — процесс и результат усвоения систематизированных знаний, умений и навыков, необходимых для музыкальной деятельности. Под музыкальным образованием понимают также систему организации музыкального обучения в музыкальных учебных заведениях. Важную роль может играть и самообраз ...

Упражнения, способствующие развитию мелкой моторики
Прищепки Можно использовать следующие упражнения с прищепками: «Ежик», «Елочка», «Солнышко» - к силуэтам ежика, елочки, солнышка, сделанных из картона, дети прицепляют колючки и лучики. Для закрепления цветаможно использовать разноцветные силуэты и соответствующие им по цвету прищепки. (Рис.43) Про ...

Становление пейзажа как жанра изобразительного искусства
В переводе с французского слово “пейзаж” (paysage) означает “природа”. Именно так именуют в изобразительном искусстве жанр, главная задача которого - воспроизведение естественной или измененной человеком природы. Кроме того, пейзаж - это конкретное художественное произведение в живописи или графике ...