Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.
Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции
, определенные на множестве
, и числовой положительный сходящийся ряд
. Тогда, если для всех
выполняется неравенство
, то функциональный ряд
равномерно и абсолютно сходится на множестве
.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.
Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).
Показать, что ряд
сходится равномерно при всех действительных значениях .
Решение
Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства
, т.е.
.
Так как неравенства и
равносильны, то, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию
, приходим к неравенству
. Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке
при всех
.
Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.
Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Исследовать на равномерную сходимость ряд
на любом конечном интервале.
Решение
Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом
, т.е.
.
Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при
, получаем числовой ряд:
.
Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как
, то ряд
сходится, причем абсолютно.
Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при
.
Образование, педагогика, воспитание:
Диагностика двинательной активности детей дошкольного возраста
Определение объема двигательной активности производится при помощи механического и электронного шагомера. Для измерения естественной дневной двигательной активности шагомер надевается всем детям и снимается в определенный временной диапазон (например, с 8 до 17 или 19). В этот день не следует стиму ...
Ознакомление с основами правового сознания детей дошкольного возраста
По рекомендации ЮНЕСКО (1974 г.) обучение правам человека, т. е. правовое воспитание, предлагается начинать еще на дошкольном уровне. Сегодня в отечественной дошкольной педагогике эта проблема только разрабатывается, вызывая интерес у исследователей и практиков. Для правового образования детей педа ...
Изображение предметов, животных, птиц
Упражнения состоят из серии последовательных движений и сопровождаются стихами, считалочками, ритм которых соответствует ритму выполняемого упражнения. При выполнении каждого упражнения нужно стараться вовлекать все пальчики, упражнения выполнять как правой, так и левой рукой. Нужно добиваться, что ...