Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.

Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве .

Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.

Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).

Показать, что ряд

сходится равномерно при всех действительных значениях .

Решение

Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству . Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке при всех .

Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.

Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Исследовать на равномерную сходимость ряд

на любом конечном интервале.

Решение

Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом , т.е. .

Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при , получаем числовой ряд: .

Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как , то ряд сходится, причем абсолютно.

Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при .

Образование, педагогика, воспитание:

История Уфы в архитектуре
Мы все знаем, слышали и видели о сокровищах найденных в гробнице Тутанхамона, о терракотовых воинах, Венере Милосской, о скелетах мамонтов и других находках археологов обнаруженных в Египте, Китае, Якутии, Греции, Турции и так далее, но даже не представляем какие древности хранят наши земли. Сущест ...

Игры и упражнения с предметами
В воспитании детей раннего возраста очень важным является обогащение и совершенствование чувственного опыта в процессе деятельности. Характерной для этой возрастной ступени деятельностью является деятельность предметная. Ее называют ведущей не только потому, что она преобладает, но и потому, что им ...

Личностно-ориентированный урок: технология проведения
Урок – основной элемент образовательного процесса, но в системе личностно-ориентированного обучения меняется его функция, форма организации. Личностно ориентированный урок в отличие от традиционного в первую очередь изменяет тип взаимодействия «учитель-ученик». От командного стиля педагог переходит ...