Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.

Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве .

Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.

Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).

Показать, что ряд

сходится равномерно при всех действительных значениях .

Решение

Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству . Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке при всех .

Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.

Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Исследовать на равномерную сходимость ряд

на любом конечном интервале.

Решение

Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом , т.е. .

Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при , получаем числовой ряд: .

Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как , то ряд сходится, причем абсолютно.

Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при .

Образование, педагогика, воспитание:

Характеристика диагностической программы исследования общения со сверстниками у детей старшего дошкольного возраста
Анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования позволил нам разработать диагностическую программу, направленную на выявление особенностей общения со сверстниками в старшем дошкольном возрасте. Разработанная нами диагностическая программа была использована на констатирующем и ко ...

Концепция обучения сельских школьников на основе интегративно-дифференцированного подхода
Актуальность разработанной концепции определяется рядом тенденций, выявленных на основании анализа исследований по проблемам обучения в сельских школах, результатов деятельности сельских школ в условиях современной социально-экономической ситуации, наблюдений практики обучения в них. Такими тенденц ...

Методика проведения занятий по обучению детей рассказыванию по картинкам
В методике развития речи обучения рассказыванию по картинам (описание и повествование) разработано в достаточной степени детально. Здесь методика опирается на классическое наследие западной и русской педагогики, использованное позднее применительно к работе с детьми дошкольного возраста Е.И. Плехее ...