Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.

Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве .

Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.

Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).

Показать, что ряд

сходится равномерно при всех действительных значениях .

Решение

Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству . Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке при всех .

Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.

Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Исследовать на равномерную сходимость ряд

на любом конечном интервале.

Решение

Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом , т.е. .

Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при , получаем числовой ряд: .

Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как , то ряд сходится, причем абсолютно.

Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при .

Образование, педагогика, воспитание:

Проектная методика
Преподавание иностранных языков, являясь составной часть общей системы образования, подчиняется основным тенденциям развития этой системы. Наиболее очевидно это выражается в методах обучения. В последние два десятилетия в образовании формируется такая тенденция, как проективность. Это понятие было ...

Роль и место самостоятельного домашнего чтения в обучении учащихся старших классов иностранному языку
Чтение на иностранном языке как опосредованная форма общения предоставляет возможности для расширения кругозора учащихся за счёт познавательной информации, заложенной в текстах, для воздействия на их интересы, чувства и эмоции. Как справедливо отмечает Л.А. Чернявская, оно оказывает влияние на разв ...

Психолого-педагогический аспект понятия интереса; особенности формирование интереса младшего школьника
Проблема определения категории «интерес» очень широко исследовалась в современной педагогике и психологии, но, несмотря на это, интерес остается одной из «загадочных» категорий, поскольку множество исследований не проясняет сути данного явления психики, а в скорее наоборот, ведет к еще большей пута ...