Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.

Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве .

Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.

Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).

Показать, что ряд

сходится равномерно при всех действительных значениях .

Решение

Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству . Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке при всех .

Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.

Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Исследовать на равномерную сходимость ряд

на любом конечном интервале.

Решение

Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом , т.е. .

Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при , получаем числовой ряд: .

Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как , то ряд сходится, причем абсолютно.

Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при .

Образование, педагогика, воспитание:

Технология организации развивающих видов деятельности учащихся
Универсальным исходным методом и основой технологии организации развивающих видов деятельности является педагогическое требование. Педагогическое требование является действенным средством в руках педагога только в том случае, если отвечает условиям педагогической целесообразности: соответствия тем ...

Интенсивная методика
В современных условиях быстрого развития науки и техники проблема перехода на интенсивный путь развития стоит и решается во всех сферах общества и на всех этапах формирования личности и специалистов. Также актуальна она и для обучения иностранным языкам. Поиски оптимальных путей решения этого вопро ...

Этапы решения педагогических задач
Рассматривая процедуру решения педагогической задачи, необходимо исходить из того, что ее цель достигается в результате решения частных познавательных и практических задач. Это этапы решения педагогической задачи в целом: 1) постановка педагогической задачи на основе анализа ситуации и конкретных у ...