Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы 0, N, , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство

1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :

.

2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.

Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)

Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.

Доказательство:

Пусть выполняются все условия теоремы.

Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е. или .

Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:

По условию теоремы выполняется неравенство: . Поэтому, при выполняется и такое неравенство: .

Если , то неравенство примет вид: (с учетом пункта 2). По свойству транзитивности - это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при . Значит, функциональный ряд будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд сходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Информационные технологии на уроках окружающего мира
Информационные технологии эффективны лишь в сочетании с соответствующими педагогическими технологиями: если учитель мыслит прежними категориями, то использование технических средств не меняет сути образовательного процесса и традиционного репродуктивного метода подачи материала. Все определяется ли ...

Анализ профессионального образа педагога на примере средней общеобразовательной школы
Учитывая, что не каждый педагог целенаправленно задумывается о формировании собственного профессионального имиджа, следует при исследовании акцентировать внимание педагогов на определенные высказывания, касающихся восприятия учащимися некоторых характеристик личности педагога. Суждения, представлен ...

Технология организации развивающих видов деятельности учащихся
Универсальным исходным методом и основой технологии организации развивающих видов деятельности является педагогическое требование. Педагогическое требование является действенным средством в руках педагога только в том случае, если отвечает условиям педагогической целесообразности: соответствия тем ...