Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы
0,
N,
,
,
N и
выполнялось неравенство:
.
Доказательство
1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :
.
2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда
равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.
Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)
Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции
, определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд
. Тогда, если для всех
выполняется неравенство
, то функциональный ряд
равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.
Доказательство:
Пусть выполняются все условия теоремы.
Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е.
или
.
Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:
По условию теоремы выполняется неравенство:
. Поэтому, при
выполняется и такое неравенство:
.
Если , то неравенство примет вид:
(с учетом пункта 2). По свойству транзитивности
- это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при
. Значит, функциональный ряд
будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд
сходится.
Образование, педагогика, воспитание:
Функции, методы и формы социальной работы в школе
В условиях школы применяются различные смежные подходы, имеющие границы и зоны воздействия, в которых проявляются те или иные воздействия социальной работы. При этом всегда следует учитывать аспекты, где социальная работа должна ослабить свои позиции в пользу других служб. Социальная служба в школе ...
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для 0 , , N и выполнялось неравенство: . Доказательство необходимости Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область оп ...
Задания – элемент методической системы
Задания как элемент методической системы, используемой для развития умения учащихся рассуждать, должна составлять определенную совокупность. Неупорядоченное стихийное применение заданий в обучении полезно, необходимо, но недостаточно для достижения каждым учеником должного уровня развития этого уме ...