Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы 0, N, , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство

1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :

.

2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.

Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)

Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.

Доказательство:

Пусть выполняются все условия теоремы.

Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е. или .

Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:

По условию теоремы выполняется неравенство: . Поэтому, при выполняется и такое неравенство: .

Если , то неравенство примет вид: (с учетом пункта 2). По свойству транзитивности - это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при . Значит, функциональный ряд будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд сходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Учебно-познавательная деятельность и технология ее организации
Учебно-познавательная деятельность - это специально организуемое самим обучаемым или извне познание с целью овладения богатствами культуры, накопленной человечеством. Ее предметным результатом являются научные знания, умения, навыки, формы поведения и виды деятельности, которыми овладевает обучаемы ...

Использование познавательных книг математического содержания и рабочих тетрадей в логико-математическом развитии дошкольников
На протяжении XX в. активно разрабатывались вопросы использования книг с математическим содержанием и рабочих тетрадей с целью обогащения математических представлений дошкольников (Ф. Н. Блехер, 3. А. Михайлова, Л. Г. Петерсон, Е. Я. Фортунатова, Л. К. Шлегер и др.). Условно можно выделить нескольк ...

Общая характеристика личностно-деятельностного подхода к обучению иностранному языку
Личностно-деятельностный подход основывается на системном представлении явлений, содержание которых составляют исследования психологии, психолингвистики и гуманистической педагогики. Психологические основы подхода заложены работами Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна, П.Я. Гальперина ...