Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы
0,
N,
,
,
N и
выполнялось неравенство:
.
Доказательство
1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :
.
2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда
равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.
Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)
Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции
, определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд
. Тогда, если для всех
выполняется неравенство
, то функциональный ряд
равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.
Доказательство:
Пусть выполняются все условия теоремы.
Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е.
или
.
Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:
По условию теоремы выполняется неравенство:
. Поэтому, при
выполняется и такое неравенство:
.
Если , то неравенство примет вид:
(с учетом пункта 2). По свойству транзитивности
- это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при
. Значит, функциональный ряд
будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд
сходится.
Образование, педагогика, воспитание:
Сущность работы социального педагога в
образовательном учреждении
Содержание работы социального педагога в соответствии с квалификационной характеристикой определяется ее педагогической направленностью. Это означает, что вся его профессиональная деятельность, по сути, представляет собой комплекс мероприятий по воспитанию, образованию, развитию и социальной защите ...
Характеристика задач музыкального образования и проблема оценки результатов
Основными задачами музыкального воспитания являются следующие (Радынова О.П.): развивать музыкальные и творческие способности детей с учетом возможностей каждого ребенка с помощью различных видов музыкальной деятельности; сформировать начала музыкальной культуры, способствовать формированию общей д ...
Справочная и научно-популярная литература и
методика их использования. Учебное оборудование по математике и методика
использования его в учебной работе
Обучение пользованию справочниками по математике, справочными таблицами и другой справочной литературой должно найти своё место при изучении математики в средней школе. Справочники необходимы по той причине, что для запоминания выбирается первостепенное, необходимое для изучения дальнейшего курса, ...