Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы 0, N, , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство

1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :

.

2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.

Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)

Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.

Доказательство:

Пусть выполняются все условия теоремы.

Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е. или .

Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:

По условию теоремы выполняется неравенство: . Поэтому, при выполняется и такое неравенство: .

Если , то неравенство примет вид: (с учетом пункта 2). По свойству транзитивности - это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при . Значит, функциональный ряд будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд сходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Формирование оптимальной двигательной активности в старшем дошкольном возрасте
Старший дошкольный возраст является наиболее важным периодом для формирования двигательной активности. Дети 5- 7 лет обладают богатым творческим воображением и стремятся удовлетворить свою биологическую потребность в движениях. Это позволяет им овладеть сложным программным материалом по развитию дв ...

Проведение исследовательского эксперимента
На примере приведенной выше работы над проектом, был проведен исследовательский эксперимент в одном из 3-их классов гимназии №9 города Красноярска. В организованной работе над проектом участвовало 17 человек. В данном учебном заведении программой предусмотрено изучение информатики в начальной школе ...

Дидактико-методические основы обучения иноязычному чтению в условиях общеобразовательных школ
Прежде всего отметим, что содержание обучения иноязычному самостоятельному чтению должно отличаться мотивационно-побудительной направленностью, информативностью, высокой образовательной ценностью, аутентичностью, информационной и языковой доступностью. Воспитательно-образовательно-развивающий эффек ...