Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы
0,
N,
,
,
N и
выполнялось неравенство:
.
Доказательство
1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :
.
2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда
равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.
Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)
Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции
, определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд
. Тогда, если для всех
выполняется неравенство
, то функциональный ряд
равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.
Доказательство:
Пусть выполняются все условия теоремы.
Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е.
или
.
Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:
По условию теоремы выполняется неравенство:
. Поэтому, при
выполняется и такое неравенство:
.
Если , то неравенство примет вид:
(с учетом пункта 2). По свойству транзитивности
- это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при
. Значит, функциональный ряд
будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд
сходится.
Образование, педагогика, воспитание:
Понятие мышления
В процессе ощущения и восприятия человек познает окружающий мир в результате непосредственного, чувственного его отражения. Однако внутренние закономерности, сущность вещей не могут отразиться в нашем сознании непосредственно. Ни одна закономерность не может быть воспринята непосредственно органами ...
Менеджмент качества высшего образования
Учебные цели 1. Понимать сущность понятия «качество образования», знать его характеристические черты; 2. Понимать назначение и функции Государственного образовательного стандарта как критерия качества образования; 3. Знать российскую систему управления качеством высшего образования; 4. Уметь опреде ...
Организация обучения математике в основных профилях
Согласно можно выделить несколько групп основных профилей, для которых математика изучается в наиболее приемлемом для этих профилей объёме. Естественно-математический профиль: математика изучается в профильном курсе в течение 12 часов в 2 недели. Технологический профиль: математика изучается в проф ...