Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы 0, N, , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство

1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :

.

2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.

Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)

Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.

Доказательство:

Пусть выполняются все условия теоремы.

Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е. или .

Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:

По условию теоремы выполняется неравенство: . Поэтому, при выполняется и такое неравенство: .

Если , то неравенство примет вид: (с учетом пункта 2). По свойству транзитивности - это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при . Значит, функциональный ряд будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд сходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Система физкультурно-оздоровительной работы в ДОУ
Мероприятия Возрастные группы Периодичность Кто проводит Обследование 1. Обследование уровня физического развития, физической подготовленности детей 2. Диспансеризация Все Ср., ст., подгот. 2 раза в год (сентябрь, май) 1 раз в год Ст. медсестра Воспитатель по физической культуре Воспитатели групп С ...

Виды речевой деятельности, их характеристика
В психологии речи можно выделить следующие виды речевой деятельности: внутреннюю и внешнюю. Внешняя речь включает речь устную (диалогическую и монологическую) и письменную. Рассмотрим данные виды речевой деятельности подробнее. Речь внутренняя – различные виды использования языка (точнее, языковых ...

Понятие о технологии конструирования педагогического процесса
Одним из решающих условий успешного протекания педагогического процесса является его конструирование, включающее в себя анализ, диагностику, определение прогноза и разработку проекта деятельности. На этом этапе решения педагогической задачи можно выделить тесно связанные между собой виды деятельнос ...