Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Докажем равномерность сходимости функционального ряда. Из неравенства и, используя свойства модуля суммы двух действительных чисел () можно переписать это неравенство так:

.

По свойству транзитивности: - условие равномерности сходимости функционального ряда на множестве Х.

Замечание. Положительный сходящийся числовой ряд, связанный с функциональным рядом, называется мажорантным или мажорирующим.

Пример №3: Доказать, что функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на всей числовой прямой.

Решение

1) Так как , N, R, то в качестве мажорантного ряда выберем при R.

2) Cравним общие элементы функционального и числового рядов: , при R. Следовательно, сходится абсолютно и равномерно на R, так как - положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ) [4]. Замечание. Признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости функционального ряда.

Образование, педагогика, воспитание:

Современные компьютерные технологии как форма работы с семьей, направленная на установление партнерских, доверительных отношений
Закон РФ «Об образовании» обязывает педагогов и родителей стать не только равноправными, но и равноответственными участниками образовательного процесса. В условиях, когда большинство семей озабочено решением проблем экономического выживания усилилась тенденция самоустранения многих родителей от реш ...

Игры, развивающие речевое дыхание
Хорошо поставленное речевое дыхание обеспечивает правильное произношение звуков, слов и фраз. Для того чтобы научиться выговаривать многие звуки, ребенок должен делать достаточно сильный вдох через рот. Ниже приведены упражнения, в которых ребенку в игровой форме предлагается подуть на различные пр ...

Научное исследование в педагогике
Без глубокого знания сложившегося состояния педагогической теории и практики невозможно это состояние изменить, прогнозировать развитие образовательной политики и науки об образовании и воспитании человека. Приобретается это знание в процессе специального организованных научно-педагогических исслед ...