Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Докажем равномерность сходимости функционального ряда. Из неравенства и, используя свойства модуля суммы двух действительных чисел () можно переписать это неравенство так:

.

По свойству транзитивности: - условие равномерности сходимости функционального ряда на множестве Х.

Замечание. Положительный сходящийся числовой ряд, связанный с функциональным рядом, называется мажорантным или мажорирующим.

Пример №3: Доказать, что функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на всей числовой прямой.

Решение

1) Так как , N, R, то в качестве мажорантного ряда выберем при R.

2) Cравним общие элементы функционального и числового рядов: , при R. Следовательно, сходится абсолютно и равномерно на R, так как - положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ) [4]. Замечание. Признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости функционального ряда.

Образование, педагогика, воспитание:

Оптимальная загруженность учащихся на уроке
Оптимальная загруженность учащихся на уроке обеспечивается рядом организационно-педагогических мер: устранением ненужных пауз, осуществлением постоянного контроля за учащимися, максимальным включением в учебную деятельность всех без исключения учащихся и др. Устранение ненужных пауз. Часто можно на ...

История «личностной компоненты» образования в отечественной педагогике
В конце XIX –начале XX веков в России получили определенное распространение идеи свободного воспитания – «первого варианта» индивидуально-ориентированной педагогики. У истоков российского варианта школы свободного воспитания стоял Л.Н. Толстой. Именно ему принадлежит разработка теоретических и прак ...

Использование познавательных книг математического содержания и рабочих тетрадей в логико-математическом развитии дошкольников
На протяжении XX в. активно разрабатывались вопросы использования книг с математическим содержанием и рабочих тетрадей с целью обогащения математических представлений дошкольников (Ф. Н. Блехер, 3. А. Михайлова, Л. Г. Петерсон, Е. Я. Фортунатова, Л. К. Шлегер и др.). Условно можно выделить нескольк ...