Почленное дифференцирование функциональных рядов

Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:

или

.

Доказательство

Обозначим через предельную функцию последовательностей функций : .

По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на .

На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на , следовательно, она будет интегрируема на, т.е. существует , он будет равен (на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).

По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: (на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция дифференцируема для .

Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна .

В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует . Следовательно, функция непрерывна в каждой точке .

Из пунктов 4),

5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на и функциональные ряды: равномерно сходятся на . Тогда сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:

=

(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).

Доказательство

Обозначим предел частичных сумм , т.е. для функционального ряда . По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций . На основании только что доказанной теоремы и функция непрерывно дифференцируема, т.е. . Последнее равенство можно переписать по-другому:

Образование, педагогика, воспитание:

Психофизиологические особенности детей старшего дошкольного возраста с задержкой психического развития
Рост требований к личности ребенка, среди которых ранние сроки начала обучения, усложнение образовательных программ определяют необходимость своевременного выявления пограничных состояний интеллектуальной недостаточности современных дошкольников. Задержка психического развития у детей чаще всего об ...

Проблемы социализации детей в педагогике и психологии
Социальная психология понимает социализацию как процесс, обеспечивающий включение в ту или иную социальную группу или общность. Социализация представляет собой развитие человека на протяжении всей его жизни во взаимодействии с окружающей средой, в процессе которого он усваивает социальный опыт и ак ...

Учебно-познавательная деятельность и технология ее организации
Учебно-познавательная деятельность - это специально организуемое самим обучаемым или извне познание с целью овладения богатствами культуры, накопленной человечеством. Ее предметным результатом являются научные знания, умения, навыки, формы поведения и виды деятельности, которыми овладевает обучаемы ...