Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на
, и последовательность их производных
равномерно сходятся на
, тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций
, т.е.
, непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:
или
.
Доказательство
Обозначим через предельную функцию последовательностей функций
:
.
По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на
.
На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на
, следовательно, она будет интегрируема на
, т.е. существует
, он будет равен
(на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).
По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства:
(на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция
дифференцируема для
.
Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна
.
В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует
. Следовательно, функция
непрерывна в каждой точке
.
Из пунктов 4),
5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на
и функциональные ряды:
равномерно сходятся на
. Тогда сумма функционального ряда
непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:
=
(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).
Доказательство
Обозначим предел частичных сумм
, т.е.
для функционального ряда
. По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций
. На основании только что доказанной теоремы и функция
непрерывно дифференцируема, т.е.
. Последнее равенство можно переписать по-другому:
Образование, педагогика, воспитание:
Психофизиологические особенности детей старшего дошкольного возраста с
задержкой психического развития
Рост требований к личности ребенка, среди которых ранние сроки начала обучения, усложнение образовательных программ определяют необходимость своевременного выявления пограничных состояний интеллектуальной недостаточности современных дошкольников. Задержка психического развития у детей чаще всего об ...
Проблемы социализации детей в педагогике и психологии
Социальная психология понимает социализацию как процесс, обеспечивающий включение в ту или иную социальную группу или общность. Социализация представляет собой развитие человека на протяжении всей его жизни во взаимодействии с окружающей средой, в процессе которого он усваивает социальный опыт и ак ...
Учебно-познавательная деятельность и технология ее организации
Учебно-познавательная деятельность - это специально организуемое самим обучаемым или извне познание с целью овладения богатствами культуры, накопленной человечеством. Ее предметным результатом являются научные знания, умения, навыки, формы поведения и виды деятельности, которыми овладевает обучаемы ...