Почленное дифференцирование функциональных рядов

Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:

или

.

Доказательство

Обозначим через предельную функцию последовательностей функций : .

По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на .

На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на , следовательно, она будет интегрируема на, т.е. существует , он будет равен (на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).

По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: (на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция дифференцируема для .

Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна .

В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует . Следовательно, функция непрерывна в каждой точке .

Из пунктов 4),

5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на и функциональные ряды: равномерно сходятся на . Тогда сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:

=

(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).

Доказательство

Обозначим предел частичных сумм , т.е. для функционального ряда . По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций . На основании только что доказанной теоремы и функция непрерывно дифференцируема, т.е. . Последнее равенство можно переписать по-другому:

Образование, педагогика, воспитание:

Задачи внеклассной работы по физическому воспитанию
Одним из видов внеклассной работы в школе является массовая физкультурная и спортивная работа. Задачи внеклассной работы: -содействовать школе в выполнении стоящих перед ней учебно-воспитательных задач; -содействовать укреплению здоровья, закаливанию организма, разностороннему физическому развитию ...

Типологический отбор исследуемых
Допустим, необходимо изучить эффективность нового метода развития силы. Для эксперимента потребуется сформировать две группы исследуемых, предположим, по 10 человек. Однако судить об эффективности нового метода позволительно будет только в том случае, если удастся уравнять исходные уровни развития ...

Принцип обеспечения межпредметных связей
Принцип обеспечения межпредметных связей состоит в выявлении взаимосвязей между компонентами учебного процесса, выделяемыми по предметному признаку. Согласование учебных предметов, как правило, обусловлено их содержанием. В процессе реализации межпредметных связей обеспечивается последовательность ...