Почленное дифференцирование функциональных рядов

Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:

или

.

Доказательство

Обозначим через предельную функцию последовательностей функций : .

По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на .

На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на , следовательно, она будет интегрируема на, т.е. существует , он будет равен (на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).

По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: (на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция дифференцируема для .

Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна .

В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует . Следовательно, функция непрерывна в каждой точке .

Из пунктов 4),

5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на и функциональные ряды: равномерно сходятся на . Тогда сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:

=

(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).

Доказательство

Обозначим предел частичных сумм , т.е. для функционального ряда . По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций . На основании только что доказанной теоремы и функция непрерывно дифференцируема, т.е. . Последнее равенство можно переписать по-другому:

Образование, педагогика, воспитание:

Проектирование и изготовление ветряка
Требования к ветряку. Ветродвигатель должен работать при слабом порыве ветра. Ветряк должен работать при постоянных переменах направления ветра. Лопасти ветродвигателя должны быть изготовлены из тонкого, легкого, упругого материала. Лопасти должны иметь дугообразную форму. Ветродвигатель должен быт ...

Кабинеты гуманитарных дисциплин
В кабинетах гуманитарных дисциплин в современной школе необходим хотя бы один мультимедийный компьютер, а также проектор, экран, оверхед-проектор, слайд-проектор, видеоплеер, телевизор и музыкальный центр. А также комплекты видеофильмов, аудиокассет и программного обеспечения, портреты великих писа ...

Методические рекомендации по введению жанров богослужебных и духовных песнопений в курсы музыкально-теоретических дисциплин
Начавшееся в конце ХХ века возрождение звучания сочинений, созданных для церкви, в настоящее время стало ярким фактором современной культурной жизни. А восстановление прежнего социального статуса церкви привлекло к ней нового поколение людей. В этой связи становится очень важным формирование у моло ...