Почленное дифференцирование функциональных рядов

Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:

или

.

Доказательство

Обозначим через предельную функцию последовательностей функций : .

По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на .

На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на , следовательно, она будет интегрируема на, т.е. существует , он будет равен (на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).

По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: (на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция дифференцируема для .

Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна .

В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует . Следовательно, функция непрерывна в каждой точке .

Из пунктов 4),

5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на и функциональные ряды: равномерно сходятся на . Тогда сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:

=

(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).

Доказательство

Обозначим предел частичных сумм , т.е. для функционального ряда . По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций . На основании только что доказанной теоремы и функция непрерывно дифференцируема, т.е. . Последнее равенство можно переписать по-другому:

Образование, педагогика, воспитание:

Теоретические и методические подходы к понятию "общение" и его развитию в дошкольном возрасте
Несмотря на многообразие и вариативность исследований, посвященных общению, в настоящее время отсутствует единый подход к определению и характеристике этого феномена. Среди исследователей существуют различные точки зрения на сущность, функцию общения: 1) общение - это коммуникация, коммуникативный ...

Задачи и содержание обучения связной речи
Программа детского сада, предусматривает обучение диалогической и монологической речи. Работа по развитию диалогической речи направлена на формирование умений, необходимых для общения. Диалог – сложная форма социального взаимодействия. Участвовать в диалоге иногда бывает труднее, чем строить моноло ...

Здоровьесберегающие технологии в современной образовательной среде
Перед тем как рассмотреть здоровьесберегающие технологии, обратимся к понятию «здоровьесберегающее образование». Это образование, не вызывающее у субъектов образования (обучаемых и обучающих) специфических заболеваний, которые называются дидактогенией, выгоранием личности учителя, полураспадом за о ...