Почленное дифференцирование функциональных рядов

Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:

или

.

Доказательство

Обозначим через предельную функцию последовательностей функций : .

По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на .

На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на , следовательно, она будет интегрируема на, т.е. существует , он будет равен (на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).

По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: (на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция дифференцируема для .

Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна .

В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует . Следовательно, функция непрерывна в каждой точке .

Из пунктов 4),

5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на и функциональные ряды: равномерно сходятся на . Тогда сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:

=

(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).

Доказательство

Обозначим предел частичных сумм , т.е. для функционального ряда . По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций . На основании только что доказанной теоремы и функция непрерывно дифференцируема, т.е. . Последнее равенство можно переписать по-другому:

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие о технологии осуществления педагогического процесса
Технологию непосредственного осуществления педагогического процесса можно представить как совокупность последовательно реализуемых технологий передачи информации, организации учебно-познавательной и других видов развивающей деятельности, стимулирования активности воспитанников, регулирования и корр ...

Деятельностный подход к речевому процессу в теории А.А. Леонтьева
Явление «речь» в теории А.А. Леонтьева трактуется в зависимости от условий ее осуществления: в обучении иностранному языку – это самостоятельный вид речевой деятельности, обладающий всеми характеристиками деятельности в терминах А.Н. Леонтьева. В коммуникативном и познавательном видах деятельности ...

Физическая подготовленность детей дошкольного возраста
Физическое воспитание в детском саду и начальной школе предусматривает охрану и укрепление здоровья, полноценное физическое развитие и направлено на своевременное формирование у детей двигательных навыков и умений. Гармонично развитые физические качества играют решающую роль в игровой и других вида ...