Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на
, и последовательность их производных
равномерно сходятся на
, тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций
, т.е.
, непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:
или
.
Доказательство
Обозначим через предельную функцию последовательностей функций
:
.
По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на
.
На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на
, следовательно, она будет интегрируема на
, т.е. существует
, он будет равен
(на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).
По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства:
(на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция
дифференцируема для
.
Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна
.
В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует
. Следовательно, функция
непрерывна в каждой точке
.
Из пунктов 4),
5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на
и функциональные ряды:
равномерно сходятся на
. Тогда сумма функционального ряда
непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:
=
(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).
Доказательство
Обозначим предел частичных сумм
, т.е.
для функционального ряда
. По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций
. На основании только что доказанной теоремы и функция
непрерывно дифференцируема, т.е.
. Последнее равенство можно переписать по-другому:
Образование, педагогика, воспитание:
Особенности речи детей младшего школьного возраста по сравнению с нормально
развивающимися сверстниками
В младшем школьном возрасте у детей с легкой степени умственной отсталости отмечается недоразвитие речи, которое характеризуется нарушением всех ее сторон: смысловой, грамматической, звуковой, а также ограниченностью и бедностью словаря. Произносительная сторона речи Недоразвитие речи прежде всего ...
Основные цели, принципы, направления и содержание организации
взаимодействия социального педагога и семьи
Профессия социального педагога представляет собой одну из разновидностей профессий, относящихся к сфере социальной работы. Под социальной работой понимается «область деятельности общества, связанная с созданием условий и оказанием помощи населению в целях максимально эффективного осуществления проц ...
Формирование культурно-гигиенических навыков у младших
дошкольников
Культурно-гигиенические навыки – важная составная часть культуры поведения. Необходимость опрятности, содержания в чистоте лица, рук, тела, одежды, обуви продиктованная не только требованиями гигиены, но и нормами человеческих отношений. С первых дней жизни при формировании культурно-гигиенических ...