Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Опр.5. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции , если

.

Опр.6. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция , в которой она равномерно сходится на множестве X. Обозначение:

.

Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности

Перепишем неравенство опр.5 в виде двойного неравенства:

.

Это означает, что график функций целиком располагается в полосе шириной , и функции и получены смещением функции вверх и вниз на величину .

Рис.1.

Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды.

§4. Определения равномерной сходимости функциональных рядов

Опр.7. Если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится к функции на множестве X, то ряд равномерно сходится на множестве X [14].

Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального

ряда на некотором отрезке .

Пусть функциональный ряд сходится на отрезке к функции и - какое-нибудь значение из области сходимости, причем .

Тогда числовой ряд

сходится и его сумма равна , т.е.

=

Представим это равенство в виде

=,

где - n-я частичная сумма; - остаток ряда.

Тогда,

,

.

Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер также зависит как от , так и от значения из области сходимости: . Однако, для функционального ряда число может и не зависеть от , т.е. это число будет одно и тоже для каждого значения , принадлежащего области сходимости.

Опр.8. Функциональный ряд , сходящийся на отрезке , называется равномерно сходящимся, если для любого существует такой номер , не зависящий от , что при , каково бы ни было .

Образование, педагогика, воспитание:

Определение объёма исследований
Определить оптимальное количество исследуемых помогает знание некоторых общих положений. По количеству исследуемых следует различать два вида выборочной совокупности: для опытных групп (экспериментальных и контрольных) и для «массовых» исследований. Первая всегда будет меньше, чем вторая. Если для ...

Особенности обучения младших школьников
Границы младшего школьного возраста, совпадающие с периодом обучения в начальной школе, устанавливаются в настоящее время с 6-7 до 9-10 лет. В этот период происходит дальнейшее физическое и психофизиологическое развитие ребёнка, обеспечивающее возможность систематического обучения в школе. Прежде в ...

Методические аспекты изучения персоналий в школьном курсе истории
Главный элемент содержания исторического образования – знания. Они включают в себя сведения, познания в области истории, концентрируя социальный опыт человечества. Знания создают научную картину развития общества, дают представление об исторической действительности и предполагают постижение её чело ...