Опр.5. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции
, если
.
Опр.6. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция
, в которой она равномерно сходится на множестве X. Обозначение:
.
Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности
Перепишем неравенство опр.5 в виде двойного неравенства:
.
Это означает, что график функций целиком располагается в полосе шириной
, и функции
и
получены смещением функции
вверх и вниз на величину
.
![]() |
Рис.1.
Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды.
§4. Определения равномерной сходимости функциональных рядов
Опр.7. Если последовательность частичных сумм функционального ряда
равномерно сходится к функции
на множестве X, то ряд равномерно сходится на множестве X [14].
Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального
ряда на некотором отрезке .
Пусть функциональный ряд сходится на отрезке
к функции
и
- какое-нибудь значение из области сходимости, причем
.
Тогда числовой ряд
сходится и его сумма равна , т.е.
=
Представим это равенство в виде
=
,
где - n-я частичная сумма;
- остаток ряда.
Тогда,
,
.
Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер также зависит как от
, так и от значения
из области сходимости:
. Однако, для функционального ряда число
может и не зависеть от
, т.е. это число
будет одно и тоже для каждого значения
, принадлежащего области сходимости.
Опр.8. Функциональный ряд , сходящийся на отрезке
, называется равномерно сходящимся, если для любого
существует такой номер
, не зависящий от
, что
при
, каково бы ни было
.
Образование, педагогика, воспитание:
Развитие российского законодательства в области образования
Преемственность образовательных традиций в современной российской высшей школе требует изучения истории становления российского образовательного права. Законов прямого действия в области образования, по существу, в Российской Федерации до 1992 года не было. Современное образовательное право возникл ...
Социально-педагогическая программа коррекции детско-родительских отношений
Механизмы интеграции семьи, в частности взаимоотношения между ее членами, играют огромную роль в воспитательном процессе. Их нарушение влечет за собой значительные неблагоприятные последствия. Тот факт, что многие родители не знают эмоциональных потребностей своих детей и не обладают необходимыми н ...
Особенности формирования фонетико-фонематической стороны речи в онтогенезе
Понимание ребенком речи окружающих развивается по законам образования условных рефлексов. На исходе первого года в результате многократного одновременного слышанья ребенком определенного звукосочетания и зрительного восприятия определенного предмета между этими возбуждениями (слуховым и зрительным) ...