Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Опр.5. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции , если

.

Опр.6. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция , в которой она равномерно сходится на множестве X. Обозначение:

.

Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности

Перепишем неравенство опр.5 в виде двойного неравенства:

.

Это означает, что график функций целиком располагается в полосе шириной , и функции и получены смещением функции вверх и вниз на величину .

Рис.1.

Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды.

§4. Определения равномерной сходимости функциональных рядов

Опр.7. Если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится к функции на множестве X, то ряд равномерно сходится на множестве X [14].

Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального

ряда на некотором отрезке .

Пусть функциональный ряд сходится на отрезке к функции и - какое-нибудь значение из области сходимости, причем .

Тогда числовой ряд

сходится и его сумма равна , т.е.

=

Представим это равенство в виде

=,

где - n-я частичная сумма; - остаток ряда.

Тогда,

,

.

Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер также зависит как от , так и от значения из области сходимости: . Однако, для функционального ряда число может и не зависеть от , т.е. это число будет одно и тоже для каждого значения , принадлежащего области сходимости.

Опр.8. Функциональный ряд , сходящийся на отрезке , называется равномерно сходящимся, если для любого существует такой номер , не зависящий от , что при , каково бы ни было .

Образование, педагогика, воспитание:

Проблемная ситуация как основной элемент проблемного обучения
Проблемное обучение раскрывается через постановку (учителем) и разрешение (учеником) проблемного вопроса, задачи и ситуации. Проблемный вопрос предполагает поиск и разные варианты ответа. То есть заранее готовый ответ здесь неприемлем. Проблемная задача – это учебно-познавательная задача, вызывающа ...

Теоретические основы формирования представлений о домашних животных у детей раннего возраста средствами дидактической игры
Свою работу мы начали с анализа психолого-педагогической литературы. Проблеме формирования экологических представлений у детей дошкольного возраста посвящены труды ряда известных педагогов, ученых. В свете их взглядов мы рассмотрим проблему экологического воспитания, его влияние на становление личн ...

Формирование межкультурной компетенции учащихся как актуальная социально-педагогическая проблема
В основе богатства человеческой цивилизации лежит многообразие культур и языков, которые находятся в постоянной взаимосвязи и взаимодействии. В современном мире проблема взаимопонимания становится очень важной с развитием политических, экономических, научно-технических и культурных связей. Все боль ...