Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Техники акварельной живописи
«Сила живописи, как и всякого искусства,— в глубине содержания и совершенстве формы. Только сочетание значительной, передовой идеи и отточенного профессионального мастерства дает подлинное произведение искусства. Если творческое мышление художника является его духовной силой, то техника живописи сл ...

Принцип связи с жизнью, личным опытом учащихся
В преподавании происхождения сущности государства и права учителю важно опираться на жизненные факты, близкие ученикам, тем самым реализуется принцип связи с жизнью, личным опытом учащихся, который предполагает расширение, углубление и обогащение правовых знаний учащихся и одновременно избавление у ...

Психология сказки. Толкование волшебных сказок. Психологический смысл мотива искупления в волшебной сказке
Как видите, даже далеко не полный перечень определений сказки позволяет увидеть и разнообразие подходов, и почти полностью совпадающие взгляды. Обращает на себя внимание, что авторы толковых словаре обычно говорят о фольклорном происхождении сказки, но не фиксирует в определении такой вид сказки, к ...