Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Состояние произношение учащихся с нарушенным слухом
С одно стороны, подходя к характеристике произношения, необходимо, прежде всего, выяснить, насколько оно обеспечивает понимание устной речи учащихся окружающими. С другой стороны, следует, по-видимому, выяснить в какой мере произношение учащихся способно обеспечить им кинестетическую базу мышления. ...

Классификация дидактических игр
По характеру познавательной деятельности дидактические игры можно отнести к следующим группам: – игры, требующие от детей исполнительной деятельности. С помощью этих игр дети выполняют действия по образцу. – игры, требующие воспроизведения действия. Они направлены на формирование вычислительных нав ...

Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"
В процессе выполнения данной выпускной квалификационной работы было создано электронное пособие по теме "Функциональные последовательности и ряды". Обучающая часть пособия представлена в формате HTML, а контролирующая - на языке DELFI. При создании обучающей программы пособия (совокупност ...