Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Виды и тип сказок
Существует самая разнообразная классификация сказок. По тематике и стилистике сказки можно разделить на несколько групп, но обычно выделяют три большие группы: 1. сказки о животных 2. волшебные сказки 3. бытовые (сатирические) сказки Сказки о животных Маленьких детей, как правило, привлекает мир жи ...

Этапы решения педагогических задач
Рассматривая процедуру решения педагогической задачи, необходимо исходить из того, что ее цель достигается в результате решения частных познавательных и практических задач. Это этапы решения педагогической задачи в целом: 1) постановка педагогической задачи на основе анализа ситуации и конкретных у ...

Практика диагностики и формирования культурно-гигиенических навыков у детей младшего дошкольного возраста
Исследовательская работа проводится в виде эксперимента с детьми младшей группы детского центра « Волшебный фонарик», г. Москвы, в течение июня по декабрь 2013 года. В работе принимали участие 10 детей в возрасте 3-4 лет. Нами были определены задачи экспериментальной части исследования: Изучить усл ...