Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд
.
Решение
При сумма ряда равна нулю; при
ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму
. При
сумма ряда равна единице. При
и
ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.
Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму
Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .
Остаток ряда имеет вид
Очевидно, что . Ряд в правой части равенства
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому
.
Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить
, откуда
или
.
Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом
. Тогда для любого положительного числа
существует такое натуральное число
, зависящее от
, что
при
. Для каждого заданного
можно найти соответствующее
, определяемое отношением
. Однако если
, меняясь, приближается к нулю, то
также будет приближаться к нулю, а число
- неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа
нельзя найти такой не зависящий от значения
номер
, что
при
. Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на
, где
- положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера
(не зависящего от
) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом
[2].
Образование, педагогика, воспитание:
Возможности хоккея в реализации задачи физического воспитания детей
старшего дошкольного возраста
В примерной основной общеобразовательной программе дошкольного образования "Детство", которая полностью соответствует Федеральным государственным требованиям, в образовательной области "Физическая культура" предусмотрено обучению игре в баскетбол детей шестого и седьмого года жи ...
Методика подбора и применения средств физического воспитания в период
эксперимента
Организация физического воспитания, существующая в настоящее время, направлена в основном на совершенствование двигательных умений и навыков и не в полной мере способствует формированию эмоционально-волевой готовности детей к обучению в школе, поскольку не содержит целевых установок для работы в да ...
Анализ профессионального образа педагога на примере средней общеобразовательной
школы
Учитывая, что не каждый педагог целенаправленно задумывается о формировании собственного профессионального имиджа, следует при исследовании акцентировать внимание педагогов на определенные высказывания, касающихся восприятия учащимися некоторых характеристик личности педагога. Суждения, представлен ...