Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

История хоккея
История хоккея с шайбой является одной из самых оспариваемых среди всех видов спорта. Традиционно местом рождения хоккея считается Монреаль. Однако ещё на некоторых голландских картинах XVI века изображено множество людей, играющих на замёрзшем канале в похожую на хоккей игру. Но, несмотря на это, ...

Формирование устной речи у слышащего ребенка
Исходным и основным видом словесной речи в процессе ее усвоения слышащего ребенка служит устное слово. Развитие устной речи происходит на основе общения ребенка с окружающими в связи с различными видами его деятельности. Особо важную роль при этом играет развивающаяся функция слухового и речедвигат ...

Понятие педагогической технологии
В педагогической и психологической литературе часто встречается понятие "технология", пришедшее к нам вместе с развитием компьютерной техники и внедрением новых компьютерных технологий. В педагогической науке появилось специальное направление - педагогическая технология. Это направление з ...