Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Структура и классификация современного урока истории
Под структурой урока понимается сочетание определенных звеньев процесса обучения, обусловленное дидактической целью занятия и реализованное в конкретном типе урока. Структурные компоненты урока охарактеризованы ниже в порядке их использования в учебном процессе: 1. Организационный момент складывает ...

Интенсивная методика
В современных условиях быстрого развития науки и техники проблема перехода на интенсивный путь развития стоит и решается во всех сферах общества и на всех этапах формирования личности и специалистов. Также актуальна она и для обучения иностранным языкам. Поиски оптимальных путей решения этого вопро ...

Содержание внеклассной работы
Внеклассная работа проводится во внеурочное время в виде занятий по гимнастике, легкой атлетике, лыжной подготовке к туризму, в секциях, группах, командах. Основным содержанием внеклассных занятий с детьми является материал учебной программы по физической культуре, используемый с целью совершенство ...