Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Примеры игр со шнурками
Использование игры-шнуровки, для того чтобы в легкой, творческой, игровой форме дать малышу необходимый сензитивный опыт. Но на первый взгляд игрушка-шнуровка не выглядит достаточно яркой и привлекательной. Возникают сомнения, заинтересует ли она малыша? Как сделать так, чтобы ему понравилось новое ...

Комплекс упражнений для управления обучением самостоятельному чтению художественных текстов учащихся старших классов и организация контроля
Домашнее самостоятельное чтение и задания связанные с ним дают большие возможности для интеллектуального развития учащихся и повышения мотивации. Самостоятельную работу учащихся с иноязычным текстом следует сделать мотивированной, целенаправленной, управляемой, а процесс контролируемым самими учащи ...

Технологии преподавания происхождения сущности государства и права в современной школе
Динамичность общественной жизни диктует потребность в изменениях даже, казалось бы, универсальных форм обучения. Например, с течением определенного времени специалисты, анализирующие опыт преподавания происхождения сущности права и государства в современной школе, пришли к выводу о недопустимости о ...