Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Общие вопросы методики руководства речевым развитием школьников на уроках русского языка
Современный этап развития методики преподавания русского языка характеризуют новые подходы к определению целей обучения. Цели обучения, его содержание (знания, умения и навыки) определяются через понятия языковой, лингвистической и коммуникативной компетенций. Изучая язык как систему и овладевая ли ...

Изучение социально-значимых качеств личности
В экспериментальном исследовании принимали участие дети старшего дошкольного возраста. Данное исследования я начала проводить в 2009–10 уч. году. В течение первого года работы с это группой детей мы совместно с воспитателем осуществляли подборку сюжетно-ролевых игр, которые, на наш взгляд, подходил ...

Принцип обеспечения межпредметных связей
Принцип обеспечения межпредметных связей состоит в выявлении взаимосвязей между компонентами учебного процесса, выделяемыми по предметному признаку. Согласование учебных предметов, как правило, обусловлено их содержанием. В процессе реализации межпредметных связей обеспечивается последовательность ...