Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Правильная постановка задач на уроке
Нередко активность учащихся на уроке снижается из-за того, что учитель допускает ошибки при постановке задачи. Л.В. Вишнева выделяет наиболее типичные из них: 1. Учитель перечисляет упражнения, которые будут выполнять ученики на уроке, вместо того чтобы поставить задачу, которая должна быть решена. ...

Отбор грамматического материала для обучения устной речи и чтению
Сущность отбора грамматического материала для школы заключается в создании такого грамматического минимума, который был бы посилен для усвоения и достаточен для выполнения коммуникативно-значимых задач обучения. При решении вопроса об отборе грамматического минимума учитываются источники и принципы ...

Психологическая характеристика возрастных особенностей учащихся 7 классов
Учащихся 7 классов можно отнести к подростковому возрасту. «Этот возраст обычно характеризуют как переломный, переходный, критический, но чаще как возраст полового созревания». Л.С. Выготский различал три точки созревания: органического, полового и социального. У человека в истории развития обществ ...