Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд
.
Решение
При
сумма ряда равна нулю; при
ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму
. При
сумма ряда равна единице. При
и
ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.
Таким образом, данный ряд сходится на отрезке
и имеет сумму
Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке
.
Остаток ряда имеет вид
Очевидно, что
. Ряд в правой части равенства
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому
.
Для того чтобы выполнялось неравенство
, нужно положить
, откуда
или
.
Пусть
- ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом
. Тогда для любого положительного числа
существует такое натуральное число
, зависящее от
, что
при
. Для каждого заданного
можно найти соответствующее
, определяемое отношением
. Однако если
, меняясь, приближается к нулю, то
также будет приближаться к нулю, а число
- неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа
нельзя найти такой не зависящий от значения
номер
, что
при
. Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на
, где
- положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера
(не зависящего от
) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом
[2].
Образование, педагогика, воспитание:
Анализ
результатов коррекции нарушений графомоторных навыков у детей младшего школьного
возраста с нарушением интеллекта
После проведения коррекционной работы по устранению нарушений графомоторных навыков, нами была проведена повторная диагностика уровня сформированности графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта. В исследовании принимали участие те же ученики второго класса с и ...
Постановка проблемы в психолого-педагогической литературе
Русский историк Н.И. Караев писал: «История есть, между прочим, и история деятельности людей…». Таким образом, автор нацеливал учащихся средней школы на необходимость глубокой проработки знаний о жизни и деятельности исторических личностей. Поскольку наши исследования были посвящены урокам истории ...
Учреждения социального обслуживания, профилактики и
реабилитации семьи и детей
В нашей стране в 1992 г. правительство принимает постановление "О первоочередных мерах по созданию государственной системы социальной помощи семье", которая включает экономическую, правовую, медицинскую, психологическую и педагогическую помощь. Социальная политика проявилась в выплате пос ...