Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Словарная работа на уроках русского языка в специальной школе VIII вида
Работу над трудными словами следует проводить систематически, слова распределяются по темам уроков, связываются с изучением определенных правил, пишутся словарные диктанты. Методы работы над правописанием трудных слов Учитель записывает слово, подлежащее изучению на доске. Вставка слова в классное ...

Развитие творческих способностей учащихся средствами графики
Художественное образование в целом и занятия графикой в частности призвано развивать эстетический и познавательный потенциал личности, стимулировать формирование эстетического сознания как основы культуры личности и основы эстетической деятельности, помогает подросткам самостоятельно освоить культу ...

Обследование эмоциональной сферы ребенка
Приведенные задания позволяют исследовать эмоциональное развитие детей (в пределах обозначенных эмоций). Если во время выполнения заданий у ребенка проявляются замкнутость, резкая смена настроения, частые вспышки раздражения, гнева, то это свидетельствует о том, что ему необходимы внимание и особый ...