Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Национальные традиции и культура как область воспитательных воздействий в ДОУ
В современных условиях осознания духовных основ развития общества актуальной является проблема глубокого и научно-обоснованного учета особенностей региональной культуры в работе с детьми. Необходимость внедрения регионального компонента предусмотрена Законом РФ. В содержании отдельных разделов дошк ...

Формы и методы дидактической игры
В современной дидактике существуют различные подходы и варианты классификаций методов обучения. Одной из таких классификаций является распространенная классификация методов обучения по источнику получения знаний (словесные, наглядные и практические методы). Различают общую и частную дидактики. Обща ...

Методика формирования синтаксического строя речи
В рамках констатирующего эксперимента выявляется уровень синтаксического строя речи учащихся, анализируются грамматические и речевые ошибки, определяется значение синтаксических конструкций различных функционально-стилистических рядов в читательской деятельности. Анализ письменной речи учащихся опи ...