Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Сущность понятия "одаренность"
В современной социально-педагогической литературе существует огромное количество определений понятия одаренность. В толковом словаре русского языка Д.Н. Ушакова одаренность - талантливость, даровитость, та или иная степень ее. Одаренный - человек с богатой природой, обладающий какими-нибудь свойств ...

Технологии обучения истории
В методической литературе на сегодняшний день довольно мало информации о новейших технологиях преподавания Автор настоящей работы приводит наиболее доступные данные. Технология - это совокупность форм, методов, приемов и средств, применяемых в какой-либо деятельности. (См. А.В. Хуторской "Мето ...

Возможности хоккея в реализации задачи физического воспитания детей старшего дошкольного возраста
В примерной основной общеобразовательной программе дошкольного образования "Детство", которая полностью соответствует Федеральным государственным требованиям, в образовательной области "Физическая культура" предусмотрено обучению игре в баскетбол детей шестого и седьмого года жи ...