Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Воздействие подвижных игр с элементами спорта на развитие двигательных способностей детей дошкольного возраста
Исследования сенсорных систем различной модальности: зрения, слуха, тактильности — показали, что представители игровых видов спорта занимают ведущие места по показателям, характеризующим улучшение функционального состояния сенсорных систем. Игры с элементами спорта отмечаются большим разнообразием ...

Средства повышения двигательной активности умственно отсталых учащихся
Физическое воспитание, применительно к системе специальных коррекционных школ, мы понимаем как учебно-педагогический процесс, направленный на обучение двигательным действиям, на управление развитием физических качеств и на коррекцию двигательных нарушения, имеющихся у учащихся этих школ. В фундамен ...

Особенности работы на пленере
Любая картина начинается с идеи, с замысла. Художник наблюдает разные состояния природы, делает зарисовки и этюды на пленере. Важность работы на пленере невозможно переоценить. Этюды и рисунки с натуры были обязательной частью подготовки художников прошлых веков. Е.И Репин и Ф.А. Васильев видели в ...