Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Экспериментальное исследование эффективности применения дидактических игр в процессе обучения информатике
Планирование экспериментальной части данного исследования осуществлялось с учётом основных требований к логике и организации педагогического эксперимента: определили цель, гипотезу, задачи, методы эксперимента и т.д. Перейдём к их конкретному описанию. Целью экспериментальной части исследования яви ...

Внедрение системы работы по обучению игре в хоккей детей подготовительной группы
Цель: формирование у детей подготовительной группы навыков игры в хоккей, предусмотренных примерной основной общеобразовательной программе дошкольного образования "Детство", развитие быстроты, формирование интереса к играм и упражнениям к элементам хоккея. Согласно примерной основной обще ...

Характеристика быстроты как двигательного качества
Хоккей является средством развития быстроты. Быстрота — способность человека совершать те или иные действия, физические упражнения в минимальный для данных условий отрезок времени. Быстрота — способность человека выполнять движения в наикратчайшее время. Высокая пластичность и большая подвижность н ...