Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Паронимы в русском языке
Паронимы (гр. para - возле + onima - имя) - это однокорневые слова, близкие по звучанию, но не совпадающие в значениях: подпись - роспись, одеть - надеть, главный - заглавный. Паронимы, как правило, относятся к одной части речи и выполняют в предложении аналогичные синтаксические функции. Паронимам ...

Система образования Новой Зеландии
До 1907 года Новая Зеландия оставалась британской колонией, поэтому английское влияние чувствуется здесь во всем, даже в системе образования, построенной по британской модели. Иностранцам нравится учиться в этой стране. Каждый год сюда приезжают около 30 тыс. студентов из-за рубежа. В Новой Зеланди ...

Теоретические и методические подходы к понятию "общение" и его развитию в дошкольном возрасте
Несмотря на многообразие и вариативность исследований, посвященных общению, в настоящее время отсутствует единый подход к определению и характеристике этого феномена. Среди исследователей существуют различные точки зрения на сущность, функцию общения: 1) общение - это коммуникация, коммуникативный ...