Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд
.
Решение
При сумма ряда равна нулю; при
ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму
. При
сумма ряда равна единице. При
и
ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.
Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму
Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .
Остаток ряда имеет вид
Очевидно, что . Ряд в правой части равенства
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому
.
Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить
, откуда
или
.
Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом
. Тогда для любого положительного числа
существует такое натуральное число
, зависящее от
, что
при
. Для каждого заданного
можно найти соответствующее
, определяемое отношением
. Однако если
, меняясь, приближается к нулю, то
также будет приближаться к нулю, а число
- неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа
нельзя найти такой не зависящий от значения
номер
, что
при
. Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на
, где
- положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера
(не зависящего от
) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом
[2].
Образование, педагогика, воспитание:
Психофизиологические особенности детей старшего дошкольного возраста с
задержкой психического развития
Рост требований к личности ребенка, среди которых ранние сроки начала обучения, усложнение образовательных программ определяют необходимость своевременного выявления пограничных состояний интеллектуальной недостаточности современных дошкольников. Задержка психического развития у детей чаще всего об ...
Психолого-лингвистические и дидактико-методические основы обучения чтению
как виду речевой деятельности
В психологической литературе речевая деятельность определяется как "реализация общественно-коммуникативной деятельности людей в процессе их вербального общения". Способами её реализации, или видами речевой деятельности, являются говорение, слушание, чтение и письмо. Как справедливо отмеча ...
Образование в США
Считается, что США – наилучший вариант для магистратуры и докторантуры. Многие американские университеты играют первую роль в исследовательских проектах, имеющих международное значение. Их уровень определяется отличной лабораторно-технической базой, легким доступом колледж всем мыслимым источникам ...