Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Оптимальная загруженность учащихся на уроке
Оптимальная загруженность учащихся на уроке обеспечивается рядом организационно-педагогических мер: устранением ненужных пауз, осуществлением постоянного контроля за учащимися, максимальным включением в учебную деятельность всех без исключения учащихся и др. Устранение ненужных пауз. Часто можно на ...

Подготовка и проведение учебно-воспитательного занятия с применением видеометода
При подготовке к уроку или внеклассному мероприятию, на котором будут применяться технические средства обучения необходимо, прежде всего, ознакомиться с 1) санитарно-гигиеническими требованиями к организации учебно-воспитательного процесса с использованием в нём электронной техники, и 2) действующе ...

Анализ методов, подходов, приемов, средства для развития изобретательских способностей
Развитие изобретательских способностей студентов – деятельность, основанная на использовании комплекса способов и средств, обеспечивающих выявление и развитие творческих способностей студентов инженерных специальностей. Эти способы и средства следует рассматривать как дополнение к существующей сист ...