Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Актуальность профильного обучения
Профильное обучение имеет вековую историю, но и в настоящее время оно не потеряло своей актуальности, так как: 1. Профилизация обучения в старших классах соответствует структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников (социологические исследования показывают: больше 70% ш ...

Использование видеометода в современном воспитательном процессе
Одним из важнейших направлений модернизации современного образования является обеспечение условий для развития индивидуальности ребёнка. Современная школа выбирает стратегическую идею – воспитание высоконравственной личности, гуманной, способной мыслить и понимать окружающий мир. В связи с этим в н ...

Цели и формы музыкального образования в европейской истории образования
Музыкальное образование — процесс и результат усвоения систематизированных знаний, умений и навыков, необходимых для музыкальной деятельности. Под музыкальным образованием понимают также систему организации музыкального обучения в музыкальных учебных заведениях. Важную роль может играть и самообраз ...