Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Особенности формирования географических представлений через процесс ознакомления с природой Родного края
История изучения природы Родного края зародилось в далеком прошлом. У всех народов мира, во все времена были люди, хорошо знавшие окружающую их местность, ее природу, прошлое и современную жизнь. Свои знания устно или в различных документах они передавали последующим поколениям. Так было и в нашей ...

Требования к отчету по преддипломной практике
Во время прохождения практики студент составляет подробный отчет о практике. Объем отчета, ориентировочно, включая схемы, графики, образцы документов и фрагменты необходимых программ должен составлять порядка 30 стр. Отчет должен содержать следующие разделы: описание информационных потоков производ ...

Анализ результатов коррекции нарушений графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта
После проведения коррекционной работы по устранению нарушений графомоторных навыков, нами была проведена повторная диагностика уровня сформированности графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта. В исследовании принимали участие те же ученики второго класса с и ...