Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение

При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму . При сумма ряда равна единице. При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.

Таким образом, данный ряд сходится на отрезке и имеет сумму

Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке .

Остаток ряда имеет вид

Очевидно, что . Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому .

Для того чтобы выполнялось неравенство , нужно положить , откуда или .

Пусть - ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом . Тогда для любого положительного числа существует такое натуральное число , зависящее от , что при . Для каждого заданного можно найти соответствующее , определяемое отношением . Однако если , меняясь, приближается к нулю, то также будет приближаться к нулю, а число - неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер , что при . Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на , где - положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера (не зависящего от ) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом [2].

Образование, педагогика, воспитание:

Учебные кинофильмы на уроках
Учебное кино – самое популярное из всех технических средств обучения, применяемое в рамках видеометода. Учебное кино можно с успехом включать в урок в тех случаях, когда необходимо: показать (или смоделировать) явления и процессы (реже предметы), увидеть которые невозможно вообще или без особой тех ...

Сущность и специфика педагогической задачи
С незапамятных времен понятие "задача" используется и в теории, и в практике педагогики. Оно употребляется обычно для описания форм предъявления учебного материала и специальных учебных заданий. Педагогическую задачу надо понимать как систему особого рода, представляющую собой основную ед ...

Кабинеты гуманитарных дисциплин
В кабинетах гуманитарных дисциплин в современной школе необходим хотя бы один мультимедийный компьютер, а также проектор, экран, оверхед-проектор, слайд-проектор, видеоплеер, телевизор и музыкальный центр. А также комплекты видеофильмов, аудиокассет и программного обеспечения, портреты великих писа ...