Пример №2. Исследовать на сходимость функциональный ряд
.
Решение
При
сумма ряда равна нулю; при
ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму
. При
сумма ряда равна единице. При
и
ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, следовательно, расходится.
Таким образом, данный ряд сходится на отрезке
и имеет сумму
Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке
.
Остаток ряда имеет вид
Очевидно, что
. Ряд в правой части равенства
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому
.
Для того чтобы выполнялось неравенство
, нужно положить
, откуда
или
.
Пусть
- ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом
. Тогда для любого положительного числа
существует такое натуральное число
, зависящее от
, что
при
. Для каждого заданного
можно найти соответствующее
, определяемое отношением
. Однако если
, меняясь, приближается к нулю, то
также будет приближаться к нулю, а число
- неограниченно возрастать. Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [0,1], все же для любого положительного числа
нельзя найти такой не зависящий от значения
номер
, что
при
. Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [0,1] сходится равномерно. Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на
, где
- положительное постоянное число, меньшее 1. В качестве номера
(не зависящего от
) можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом
[2].
Образование, педагогика, воспитание:
Формирование устной речи у неслышащих детей
Как сказано выше слышащий ребенок, усваивая устную речь, располагает для этого определенной сенсорной базой (чувствительной основой), позволяющей ему воспринимать речь из вне и контролировать собственное произношение. При этом особо важная роль, как указывалось выше, принадлежит слуховому анализато ...
Методические рекомендации по проведению лекционных занятий
Курс "Математический анализ" входит в блок дисциплин предметной подготовки и занимает важное место среди них в процессе подготовки будущих педагогов - математиков. Целью курса является научное обоснование тех, относящихся к нему понятий, первое представление о которых дается в школе. Курс ...
Актуальность профильного обучения
Профильное обучение имеет вековую историю, но и в настоящее время оно не потеряло своей актуальности, так как: 1. Профилизация обучения в старших классах соответствует структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников (социологические исследования показывают: больше 70% ш ...