Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие «аутентичный текст»
Проблема аутентичных материалов (текстов, в нашем случае), используемых в обучении иностранным языкам, вызывает много разногласий сама по себе. Само понятие «аутентичный текст» появилось в методике не так давно, что связано с современной постановкой целей обучения иностранному языку. В настоящее вр ...

Принцип юридической точности правовых знаний
Особенность преподавания права состоит в том, что при объяснении правовой информации учитель пользуется конструкциями и формулами закона, сложными для восприятия учеников, у которых абстрактное мышление еще недостаточно развито. Тем не менее, недопустимо изучение отраслевого права заменять общими р ...

Закономерности, критерии и степени исправления осужденных
Понятия «исправление» и «перевоспитание» употребляются в трех аспектах: 1). для обозначения цели деятельности органов, исполняющих наказание, как юридическое воплощение психологического принципа исправимости личности; 2). для характеристики процесса изменения и перестройки личности осужденного; 3). ...