Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Организация учебного процесса в традиционном направлении отечественной методики
Традиционная методика, принимая за лингвистические основы неофилологическую теорию речевой деятельности Л.В. Щербы, предполагает выявление условий и способов организации учебного процесса с позиции функционального социолингвистического подхода, определяемого этой теорией. Неофилологическая теория р ...

Особенности проявления интереса дошкольников к познавательной книге математического содержания и рабочим тетрадям
Интерес детей к познавательной книге изменяется на протяжении всего дошкольного периода. Он зависит от развития восприятия и накопления опыта рассматривания иллюстраций и слушания литературных сюжетов. В данном аспекте исследования в области восприятия дошкольниками литературы (А. В. Запорожец, С. ...

Особенности работы по психофизическому развитию детей в ДОУ
Психофизическое развитие и здоровье детей занимает важное место в работе ДОУ. Цель данного направления: содействовать сохранности психоэмоционального и физического здоровья детей. Достигается данная цель путем решения следующих задач: 1. Оздоровительные задачи (охрана и укрепление здоровья, закалив ...