Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Игры, способствующие пониманию и формированию грамматических конструкций
Своевременное формирование грамматического строя языка ребенка является важнейшим условием его полноценного речевого и общего психического развития, поскольку язык и речь выполняют ведущую функцию в развитии мышления и речевого общения, в планировании и организации деятельности ребенка, самоорганиз ...

Особенности обучения младших школьников
Границы младшего школьного возраста, совпадающие с периодом обучения в начальной школе, устанавливаются в настоящее время с 6-7 до 9-10 лет. В этот период происходит дальнейшее физическое и психофизиологическое развитие ребёнка, обеспечивающее возможность систематического обучения в школе. Прежде в ...

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда
Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы 0, N, , , N и выполнялось неравенство: . Доказательство 1) Составим разность частичных сумм функционального ряда : . 2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последов ...