Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Общая характеристика индивидуальной речевой деятельности в концепции И.А. Зимней
Внутренний механизм, управляющий видами речевой деятельности, это – Высшая интегративная вербально-коммуникативная функция человека (ВКФ), которой выражается единство сознания и деятельности индивида, как системная целостность способностей когнитивной, и языковой форм сознания. ВКФ – интегративная ...

Психологические и психофизиологические особенности младших школьников
Тенденции развития психологических свойств такова: от большей слабости и инертности нервной системы в раннем возрасте к увеличению ее выносливости и подвижности по мере взросления. Это означает, что младшие школьники, особенно первоклассники, быстро достигают предела работоспособности, в очень мало ...

Особенности методики обучения элементам игры в хоккей детей старшего дошкольного возраста
Хоккей для детей дошкольного возраста существенно отличается от игры взрослых. Прежде всего упражнениями и играми с клюшкой и шайбой (мячом) решается задача общей физической подготовки ребенка. Дети получают лишь элементарные представления о хоккее. Поэтому при обучении дошкольников можно внести це ...