Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Формирование интереса у младшего школьников на интегрированных уроках изобразительного искусства
Использование различных видов работы на интегрированных уроков поддерживает внимание учеников на высоком уровне, что позволяет говорить о развивающей эффективности таких уроков. Это могут быть уроки изобразительного искусства с привлечением учебного материала смежных предметов а так же проведение, ...

Специфика и средства полового воспитания мальчиков и девочек дошкольного возраста
Проблема полового воспитания включает в себя вопросы формирования психического пола ребенка, психических половых различий и полоролевой дифференциации. Без ее решения невозможно разработать методы дифференцированного подхода к воспитанию детей разного пола, для формирования у них основ таких качест ...

Практические аспекты использования элементов хоккея как средства физического воспитания у детей старшего дошкольного возраста
Экспериментальная работа по реализации практических аспектов использования элементов хоккея в работе с детьми старшего дошкольного возраста в МДОУ №10 "Малютка" города Тамбова с 11.09.11. по 17.05.12. с детьми подготовительной к школе группы. В эксперименте участвовало18 детей, а именно: ...