Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Основные цели, принципы, направления и содержание организации взаимодействия социального педагога и семьи
Профессия социального педагога представляет собой одну из разновидностей профессий, относящихся к сфере социальной работы. Под социальной работой понимается «область деятельности общества, связанная с созданием условий и оказанием помощи населению в целях максимально эффективного осуществления проц ...

Национальные сказки, их значения для всеобщего развития ребенка
Этнопедагогика народа, создаваемая веками, включает в себя множество элементов, составляющих единую систему воспитания подрастающего поколения. Задача ставилась одна: вырастить человека, способного выжить в этом (часто враждебном) мире. И всё это - через участие в сложной системе религиозных (реже ...

Экспериментальные исследования по выявлению уровня лексической сформированности младших школьников
С целью формирования у младших школьников понятия "системные отношения" в лексике (без введения данного термина) был организован констатирующий эксперимент. В нашем исследовании решались следующие задачи: 1) проверить степень и уровень понимания младшими школьниками семантики слов, близос ...