Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Влияние процесса саморегуляции на социальную адаптацию одаренного ребенка
Каждый ребенок обладает одному ему присущими свойствами, которые и создают его индивидуальность. Анализ литературных источников по проблеме приводит к выводу о том, что трудности в общении в значительной мере связаны с особенностями личности одаренных. И роль этих особенностей столь велика, что с о ...

Активные методы обучения на уроках информатики
Активный метод это форма взаимодействия учащихся и учителя, при которой учитель и учащиеся взаимодействуют друг с другом в ходе урока и учащиеся здесь не пассивные слушатели, а активные участники урока. Если в пассивном уроке основным действующим лицом и менеджером урока был учитель, то здесь учите ...

Научное исследование в педагогике
Без глубокого знания сложившегося состояния педагогической теории и практики невозможно это состояние изменить, прогнозировать развитие образовательной политики и науки об образовании и воспитании человека. Приобретается это знание в процессе специального организованных научно-педагогических исслед ...