Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Оздоравливающие пальчиковые игры
Многие уже слышали об иглорефлексотерапии. Через активные точки на коже человека не только иглами, но и лазерным лучом, и электропунктурой восстанавливают работу энергетических каналов. Каждый такой канал регулирует деятельность определенного органа, а то и системы органов тела. Пользуйтесь целебны ...

Проблема сохранения здоровья подрастающего поколения
Конец XX столетия ознаменован целым комплексом глобальных изменений в социальной, экономической и духовной сферах общества, утратой ранее значимых ценностей и возникновением новых, формированием новой философии жизни. Человеческое сообщество захлестывает ускоряющийся динамизм социальных процессов, ...

Содержание обучения английскому языку как второму иностранному
Проблема родного языка неизменно возникает всякий раз при разработке методов обучения иностранному языку. Сложность этой проблемы нашла свое отражение в таких методических принципах обучения, как опора на родной язык, его учет или исключение из учебного процесса. Все речевые механизмы учащихся сфор ...