Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Роль семьи в полоролевой социализации дошкольников
До сих пор ученые полемизируют: какое понятие шире - полоролевое или половое воспитание. Одни считают полоролевое воспитание составной частью полового, другие убеждены в том, что оно (полоролевое) - более широкая область воспитания по сравнению с сексуальным. Но те и другие едины во мнении: психосе ...

Связь показателей эмоционально-волевых свойств с успешностью обучения
В литературе имеются данные, характеризующие взаимосвязь успешного овладения знаниями детьми с теми или иными чертами незрелости их эмоционально-волевой сферы. Так, дети с астеническими, т.е. пассивными или угнетенными состояниями, которых много среди неуспевающих школьников, при выполнении заданий ...

Результаты коррекционно-развивающей работы с умственно отсталыми младшими школьниками
Таблица 1 Состав экспериментальной группы Фамилия, имя Возраст Диагноз ПМПК 1. Будников Женя 10 л. Легкая умственная отсталость вследствие алкоголизма родителей 2. Вырвич Андрей 10 л. Легкая умственная отсталость с нарушенением поведения 3. Дубина Ольга 11 л. Слабоумие вследствие фенилкетонурии 4. ...