Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Техники акварельной живописи
«Сила живописи, как и всякого искусства,— в глубине содержания и совершенстве формы. Только сочетание значительной, передовой идеи и отточенного профессионального мастерства дает подлинное произведение искусства. Если творческое мышление художника является его духовной силой, то техника живописи сл ...

Образные представления о персоналиях в учебнике истории России 8 класса
В решении вопроса о методах и приемах характеристики исторического деятеля учитель руководствуется идейно-образовательными и воспитательными задачами школьного курса истории. Необходимо показать исторического деятеля как сына его времени, подчеркнуть исторические условия, сыгравшие решающую роль в ...

Формы, методы и средства формирования межкультурной компетенции на уроках английского языка
Процесс формирования межкультурной компетенции эффективен только тогда, когда учащиеся одновременно осмысливают и сопоставляют полученные знания о родной и иноязычной культуре, и в состоянии связать собственный опыт с чужим. Опыт межкультурной деятельности и общения между учащимися, представляющими ...