Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Формирование репродуктивных и рецептивных грамматических навыков
Разный характер действий, лежащих в основе рецептивной и репродуктивной деятельности ставит на первое место задачу развития продуктивных и рецептивных грамматических навыков и умений, выработку грамматических механизмов речи. Поэтому упражнения занимают центральное место при обучении иностранному я ...

Почленное дифференцирование функциональных рядов
Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство: или . Доказатель ...

Игры, способствующие пониманию и формированию грамматических конструкций
Своевременное формирование грамматического строя языка ребенка является важнейшим условием его полноценного речевого и общего психического развития, поскольку язык и речь выполняют ведущую функцию в развитии мышления и речевого общения, в планировании и организации деятельности ребенка, самоорганиз ...