Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Значение и роль дидактических игр на уроке математики
Исследования показали, что игра – эффективное средство умственного развития ребенка, формирования его речи, воображения, суждений, умозаключений (А. Люблинская, Р. Римбург, В. Черков, Р. Жуковская, др.). Рассмотрению игры как многообразной практической познавательной деятельности ребенка большое вн ...

Классификация технических средств обучения
Комплекс технических средств, предлагаемых для использования в процессе обучения, год от года становится всё сложнее и многообразнее. От умения педагога эффективно использовать эти средства в немалой степени зависит конечный результат восприятия учениками новой для них информации. Технические средс ...

Когнитивно стилевой подход
Кстати, когда мы говорим о когнитивном стиле или о типе мышления, следует учитывать, что индивидуальный стиль окрашивает индивидуальную специфику и восприятия, и переработки, и воспроизведения той или иной информации. Каждый вышележащий уровень психического развития содержит в себе — в более развер ...