Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Методические рекомендации по проведению уроков по графике в системе дополнительного образования
Методика как предмет изучения рассматривает особенности работы педагога с учениками. Здесь важное значение имеют содержание образования, его цели и задачи, отражение в программах, планирование материала, принципы и способы обучения. Методика преподавания изобразительного искусства как наука выделяе ...

Дезонтогенез речевого развития детей при легкой степени умственной отсталости у детей
Становление речи умственно отсталого ребенка осуществляется своеобразно и с большим запозданием. Он позднее и менее активно вступает в эмоциональный контакт с матерью. Исследователи отмечают, что в возрасте около года звуковые комплексы, произносимые детьми, бедны и характеризуются сниженной эмоцио ...

Цель и задачи констатирующего эксперимента. Характеристика детей, участвующих в экспериментальном исследовании
Целью констатирующего эксперимента явилось выявление нарушений формирования фонетико-фонетических процессов у дошкольников старшего возраста с фонетико-фонематическим недоразвитием речи. Для достижения поставленной цели мы поставили перед собой следующие задачи: 1. Подобрать методические рекомендац ...