Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Система образования Ирландии
В Ирландии действует более 3000 начальных, свыше 800 средних, более 150 языковых школ, 14 технологических институтов, несколько частных педагогических и бизнес-колледжей, семь университетов. Все учебные заведения контролируются на государственном уровне специальными органами, которые следят за соот ...

Проверка результатов эксперимента
Особенно важное значение имеет проверка полученных в ходе педагогического эксперимента результатов на практике, в повседневной работе. Дело в том, что экспериментатор независимо от желания всегда находится в лучших условиях для проведения учебно-воспитательной работы, чем обычный преподаватель. Выс ...

Проблема сохранения здоровья подрастающего поколения
Конец XX столетия ознаменован целым комплексом глобальных изменений в социальной, экономической и духовной сферах общества, утратой ранее значимых ценностей и возникновением новых, формированием новой философии жизни. Человеческое сообщество захлестывает ускоряющийся динамизм социальных процессов, ...