Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Исследования современных методик обучения английскому языку как второму иностранному
Выдвижение иноязычной культуры в качестве цели обучения вызвало появление вопроса о необходимости создания новой методической системы, которая могла бы обеспечить достижение этой цели наиболее эффективным и рациональным способом. Тогда коллектив кафедры обучения иностранным языкам Липецкого государ ...

Адаптация и социализация детей из семей мигрантов
Основная доля мигрантов, проживающих в городе Лянторе - это граждане иностранных государств ближнего зарубежья, не являющиеся беженцами. В МОУ "ЛСОШ №5" на 2009-2010 учебный год обучается 14 учащихся из семей мигрантов, трое из них слабо владеют русским языком. Слабое знание детьми мигран ...

Приёмы раскрытия роли личности в истории. Итоги обучающего эксперимента
Экспериментальная методика включала 4 урока, различающиеся по целям, задачам, способам организации деятельности учащихся, по заданиям разного уровня сложности. Рассмотрим фрагменты экспериментальных уроков. Урок 1. Тема урока: «Два императора. Начало пути» Цели урока: 1. Познакомить учащихся с детс ...