Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Значение интереса к урокам физической культуре в повышении активности учащихся на уроке
Интересы учащихся к уроку физической культуры бывают разными. Это и стремление укрепить здоровье, сформировать осанку, это и желание развить двигательные и волевые качества. Интересы мальчиков и девочек различны: девочки чаще всего думают о красивой фигуре, гибкости, изяществе движений и походки, р ...

Повышение уровня двигательной активности и дозировка физической нагрузки на физкультурных занятиях
В последние годы ведущими направлениями в исследованиях по физической культуре стали изучение эффективности двигательной активности детей, совершенствование количественных и качественных показателей развития движений. Исследования профессора И.А.Аршавского говорят о том, что у ребенка восстановлени ...

Формирование репродуктивных и рецептивных грамматических навыков
Разный характер действий, лежащих в основе рецептивной и репродуктивной деятельности ставит на первое место задачу развития продуктивных и рецептивных грамматических навыков и умений, выработку грамматических механизмов речи. Поэтому упражнения занимают центральное место при обучении иностранному я ...