Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Коммуникативно-прагматическая модель обучения английскому языку
Формирование межкультурной компетенции – это один из самых актуальных вопросов современной российской теории и практики обучения иностранному языку, так как выступает одной из важнейших целей мультикультурного образования и предусматривает наличие: –достаточной информированности о культурной специф ...

Общая характеристика личностно-деятельностного подхода к обучению иностранному языку
Личностно-деятельностный подход основывается на системном представлении явлений, содержание которых составляют исследования психологии, психолингвистики и гуманистической педагогики. Психологические основы подхода заложены работами Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна, П.Я. Гальперина ...

Определения функциональной последовательности и функционального ряда
Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: . Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит о ...