Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие и структура межкультурной компетенции
Глобализация – это процесс возрастающего воздействия различных факторов международного значения (например, тесных экономических и политических связей, культурного и информационного обмена) на социальную действительность в отдельных странах. Суть глобализации заключается в расширении взаимосвязей и ...

Формирование устной речи у неслышащих детей
Как сказано выше слышащий ребенок, усваивая устную речь, располагает для этого определенной сенсорной базой (чувствительной основой), позволяющей ему воспринимать речь из вне и контролировать собственное произношение. При этом особо важная роль, как указывалось выше, принадлежит слуховому анализато ...

Условия эффективного воспитания детей в национальных традициях
В последнее время воспитание малыша принято рассматривать с точки зрения формирования ценностного отношения к окружающей действительности. Н. Непомнящая к базовым ценностям относит реально-бытовые ценности, ценность игры, ценность отношения к другим, ценность познания и ценность деятельности в широ ...