Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Содержание внеклассной работы
Внеклассная работа проводится во внеурочное время в виде занятий по гимнастике, легкой атлетике, лыжной подготовке к туризму, в секциях, группах, командах. Основным содержанием внеклассных занятий с детьми является материал учебной программы по физической культуре, используемый с целью совершенство ...

Синонимы в русском языке
Лексика как раздел языковедения впервые введена в школьную программу по русскому языку в 1970 году. Работа по лексике в школе имеет огромное как общеобразовательное, так и практическое значение. Общеобразовательное значение лексики заключается в том, что ее изучение расширяет знания учащихся о язык ...

Виды и тип сказок
Существует самая разнообразная классификация сказок. По тематике и стилистике сказки можно разделить на несколько групп, но обычно выделяют три большие группы: 1. сказки о животных 2. волшебные сказки 3. бытовые (сатирические) сказки Сказки о животных Маленьких детей, как правило, привлекает мир жи ...