Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство: Удобный wishlist для составления

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Постановка проблемы в психолого-педагогической литературе
Русский историк Н.И. Караев писал: «История есть, между прочим, и история деятельности людей…». Таким образом, автор нацеливал учащихся средней школы на необходимость глубокой проработки знаний о жизни и деятельности исторических личностей. Поскольку наши исследования были посвящены урокам истории ...

Понятие и структура имиджа современного учителя
Термин "имидж" широко трактуется, но надо отметить, что до сих пор нет однозначного его толкования. Так физический имидж – это здоровье, стиль одежды, прически и макияжа. Психологический имидж - характер, темперамент, внутренний мир. Социальный имидж - роль в обществе, поведение и коммуни ...

Чтение и анализ рассказов в школе для слабослышащих учащихся
Основным материалом для уроков чтения служит рассказ. В учебниках по чтению для 2—6-го классов специальной (коррекционной) школы рассказы составляют примерно 50% от произведений других жанров. Рассказ — это повествование, изображающее эпизоды, события из жизни героев. При этом описываемое событие м ...