Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Образование в США
Считается, что США – наилучший вариант для магистратуры и докторантуры. Многие американские университеты играют первую роль в исследовательских проектах, имеющих международное значение. Их уровень определяется отличной лабораторно-технической базой, легким доступом колледж всем мыслимым источникам ...

Цели и формы музыкального образования в европейской истории образования
Музыкальное образование — процесс и результат усвоения систематизированных знаний, умений и навыков, необходимых для музыкальной деятельности. Под музыкальным образованием понимают также систему организации музыкального обучения в музыкальных учебных заведениях. Важную роль может играть и самообраз ...

Порядок сдачи зачета по преддипломной практике
Практика завершается зачетом (с оценкой) на кафедре. Зачет должен быть сдан студентом в течение десяти дней с момента окончания практики. Комиссия, принимающая зачет, при выведении итоговой оценки руководствуется следующим: отзывом руководителя практики на предприятии (организа-ции); качеством отве ...