Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Фонетические факторы внятности
Наряду с общими требованиями к внятности и членораздельности, следует иметь в виду и ряд вытекающих из них частных требований, касающихся разных сторон фонетического оформления речи, а именно: голоса, фонетического облика слова (включая их фонематический состав, слоговый ритм, ударение, орфоэпию), ...

Методика сенсорного воспитания детей младшего дошкольного возраста
В детском саду ребенок обучается рисованию, лепке, конструированию, знакомится с явлениями природы, начинает осваивать основы математики и грамоты. Овладение знаниями и умениями во всех этих областях требует постоянного внимания к внешним и внутренним свойствам предметов. Так, для того чтобы получи ...

Социально-воспитательное направление работы социального педагога школы
В МОУ "Лянторская средняя общеобразовательная школа №5" в системе ведется работа с детьми девиантного поведения. Основные задачи образовательного учреждения: Дать каждому ребенку, с учетом его психофизических возможностей, тот уровень образования и воспитания, который поможет ему не потер ...