Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Формирование знаний на уроке окружающего мира с использованием презентации на тему: «Животный и растительный мир болот»
По программе «Начальная школа XIX век» встречается тема «Животный и растительный мир болот». Целью урока: расширить представления учащихся о животном и растительном мире водоемов: болот. Развивающая: развивать ОУУН: учебно–управленческие умения: организовывать свой труд, контроль и анализ собственн ...

Цель и задачи констатирующего эксперимента. Характеристика детей, участвующих в экспериментальном исследовании
Целью констатирующего эксперимента явилось выявление нарушений формирования фонетико-фонетических процессов у дошкольников старшего возраста с фонетико-фонематическим недоразвитием речи. Для достижения поставленной цели мы поставили перед собой следующие задачи: 1. Подобрать методические рекомендац ...

Исследование опыта развития познавательной активности учащихся на уроках биологии
Актуальность проблемы развития познавательной активности учащихся на основе биологического образования и наличие необходимых научных предпосылок для решения этой проблемы послужили основанием для выбора темы исследования: «Развитие познавательной активности учащихся на уроках биологии». Исследовани ...