Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Упражнения, способствующие развитию мелкой моторики
Прищепки Можно использовать следующие упражнения с прищепками: «Ежик», «Елочка», «Солнышко» - к силуэтам ежика, елочки, солнышка, сделанных из картона, дети прицепляют колючки и лучики. Для закрепления цветаможно использовать разноцветные силуэты и соответствующие им по цвету прищепки. (Рис.43) Про ...

Особенности работы над внятностью устной речи неслышащих учащихся
На основе проведенного нами исследования мы можем предложить следующие методические рекомендации. Учитывая, что важными компонентами внятности речи являются словесное ударение, голос, умение членить фразы паузами и т.д. при работе над развитием внятности следует обращать внимание на те аспекты, кот ...

Игры, способствующие пониманию и формированию грамматических конструкций
Своевременное формирование грамматического строя языка ребенка является важнейшим условием его полноценного речевого и общего психического развития, поскольку язык и речь выполняют ведущую функцию в развитии мышления и речевого общения, в планировании и организации деятельности ребенка, самоорганиз ...