Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Определение объёма исследований
Определить оптимальное количество исследуемых помогает знание некоторых общих положений. По количеству исследуемых следует различать два вида выборочной совокупности: для опытных групп (экспериментальных и контрольных) и для «массовых» исследований. Первая всегда будет меньше, чем вторая. Если для ...

Описание пробного обучения и его результатов
Изложенные выше теоретические положения мы апробировали на практике в сентябре – октябре 2008 – 2009 учебного года в 4 «А» классе в реальных условиях учебного процесса в средней школе №133 г. Самары. Это означает, что нами было проведено пробное обучение. Уроки проходили в соответствии с расписание ...

Необходимость воспитания чувства юмора в дошкольном детстве
Дошкольное детство – это большой отрезок жизни ребенка. Условия жизни в это время стремительно расширяются: рамки семьи раздвигаются до пределов улицы, города, страны. Ребенок открывает для себя мир человеческих отношений, разных видов деятельности и общественных функций людей. Период дошкольного д ...