Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Структура проблемного урока
Проблемным называется урок, на котором преподаватель целенаправленно создаёт ситуации для поисковой деятельности студентов при приобретении и закреплении новых знаний и способов действий. Особенностью проблемного урока является то, что повторение пройденного материала в большинстве случаев сливаетс ...

Реализация технологии физического воспитания в работе с детьми 5–6 лет с задержкой психического развития
В РФ действуют специальные образовательные учреждения I-VШ видов. Для обучения и воспитания детей с ЗПР организуются учреждения VII вида: детский сад компенсирующего вида с приоритетным осуществлением квалифицированной коррекции в физическом и психическом развитии воспитанников; детский сад комбини ...

Учебный комплект по русскому языку авторов Р.Н. Бунеева, Е.В. Бунеевой, О.В. Прониной
Начиная с 1997 года, в практику школьного преподавания русского языка в начальных классах вошел учебный комплекс авторов Р.Н. Бунеева, Е.В. Бунеевой, О.В. Прониной. В "Пояснительной записке" программы определена основная цель курса - " развитие личности ребенка на основе формирования ...