Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для
0
,
,
N и
выполнялось неравенство:
.
Доказательство необходимости
Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для
0
N,
,
,
N и
:
.
Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е.
0 (
),
N,
,
:
.
При тех же условиях существует такой номер
, что при ![]()
будет выполняться неравенство:
.
Сложим два неравенства одинакового смысла:
+
В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:
![]()
+![]()
Следовательно,
0,
,
,
N.
Доказательство достаточности:
Пусть
0
N, ![]()
,
N:
. Требуется доказать, что
равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.
Образование, педагогика, воспитание:
Система образования Ирландии
В Ирландии действует более 3000 начальных, свыше 800 средних, более 150 языковых школ, 14 технологических институтов, несколько частных педагогических и бизнес-колледжей, семь университетов. Все учебные заведения контролируются на государственном уровне специальными органами, которые следят за соот ...
Проверка результатов эксперимента
Особенно важное значение имеет проверка полученных в ходе педагогического эксперимента результатов на практике, в повседневной работе. Дело в том, что экспериментатор независимо от желания всегда находится в лучших условиях для проведения учебно-воспитательной работы, чем обычный преподаватель. Выс ...
Проблема сохранения здоровья подрастающего поколения
Конец XX столетия ознаменован целым комплексом глобальных изменений в социальной, экономической и духовной сферах общества, утратой ранее значимых ценностей и возникновением новых, формированием новой философии жизни. Человеческое сообщество захлестывает ускоряющийся динамизм социальных процессов, ...