Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство: Удобный wishlist для составления

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Влияние игры на формирование элементов учебной деятельности и интеллектуальной подготовки детей
Подготовка к школе органично входит в жизнь ребенка, если взрослые учитывают психологическую специфику дошкольного возраста, не забывая о ведущей роли игры в этом периоде развития личности. Академик А.В.Запорожец писал, что оптимальные педагогические условия для реализации потенциальных возможносте ...

Анализ результатов исследования общения со сверстниками у детей старшего дошкольного возраста
Исследование проводилось в МОУГ № 4 г. Тулы (курсы подготовки к школе) Выборку составили 20 детей старшего дошкольного возраста, по 10 человек в экспериментальной и контрольной группах. Список детей в экспериментальной и контрольной группах представлен в таблице 3. Таблица 3 Список детей в эксперим ...

Я-концепция и технология построения имиджа педагога
Формирование Я-концепции человека происходит при накоплении опыта решения жизненных задач и при оценивании их со стороны других людей. Внутренняя структура имиджа также содержит три похожие составляющие. Следует их рассмотреть. Первая часть внутренней структуры - это представление человека о себе с ...