Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Структура педагогической деятельности
Педагогическая деятельность имеет те же характеристики, что и любой другой вид человеческой деятельности. Это прежде всего целеположенность, мотивированность, предметность. Специфической характеристикой педагогической деятельности, по Н.В. Кузьминой, является ее продуктивность. Различают пять уровн ...

Коммуникативная компетенция как основная цель обучения английскому языку как второму иностранному
Обучение второму иностранному языку имеет свою специфику, так как, в отличие от других предметов, в качестве основной цели обучения выдвигается формирование коммуникативной компетенции учащихся. В настоящее время глобальной целью овладения вторым иностранным языком считается приобщение к иной культ ...

Проблема отбора содержания экспериментальных уроков
Основная трудность, с которой сталкиваются учителя в школах при изучении исторических персоналий, - это отсутствие систематизированного исторического материала и методических рекомендаций. При отборе исторического материала мы старались опираться на литературу, доступную для школьных учителей. Нами ...