Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Планирование работы классного руководителя
План работы классного руководителя - конкретное отображение предстоящего хода воспитательной работы в ее общих стратегических направлениях и мельчайших деталях. Классный руководитель должен начинать работу над планом в конце предшествующего учебного года, когда становится известным распределение уч ...

Методики изучения психологической готовности слабослышащих дошкольников к обучению в школе
При изучении психологической готовности к школьному обучению целесообразно использовать комплексный подход, в котором осуществляется диагностика эмоционально-волевой сферы, умственной и мотивационной готовности. Диагностика эмоционально-волевой готовности включает определение уровня эмоционально-во ...

Опытно-экспериментальная работа по обучению самостоятельному чтению иноязычных художественных текстов учащихся старших классов
Разработанная нами научно-обоснованная модель обучения учащихся самостоятельному чтению художественных текстов лингвострановедческого содержания была апробирована в ходе опытно-экспериментальной работы в 10 классе школы №.28 Основная цель - проверка выдвинутой гипотезы исследования и определение ст ...