Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство: Удобный wishlist для составления

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие и структура воспитательной системы и воспитательного процесса в исправительном учреждении
Воспитательный процесс в пенитенциарных учреждениях имеет своей целью исправление и перевоспитание лиц совершивших преступления, осужденных к лишению свободы. Этот процесс представляет собой весьма сложную систему мер, осуществляемых по отношению к осужденным, отбывающим наказание в виде лишения св ...

Понятие социальной адаптации
Поступление в дошкольное учреждение всегда сопровождается для ребенка определенными психологическими трудностями. Эти трудности возникают в связи с тем, что малыш переходит из знакомой и обычной для него семейной среды в среду дошкольного учреждения. Условия дошкольных учреждений специфичны. Это ос ...

Жанровая типология церковной музыки православного обряда
Главная цель литургических жанров – выразить видимыми и слышимыми средствами невидимое и неслышимое. Они указывают на ту Божественную реальность, которая присутствует в центральном христианском таинстве – Евхаристии. С помощью богослужебных жанров эта реальность является людям, а они, в свою очеред ...