Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Формирование устной речи у слышащего ребенка
Исходным и основным видом словесной речи в процессе ее усвоения слышащего ребенка служит устное слово. Развитие устной речи происходит на основе общения ребенка с окружающими в связи с различными видами его деятельности. Особо важную роль при этом играет развивающаяся функция слухового и речедвигат ...

Сравнительный анализ программ учебно-воспитательного процесса в дошкольных образовательных учреждениях
Разработанная в России стратегия построения государственных образовательных стандартов соответствует Международной конвенции о правах ребенка, опирается на положение Закона РФ "Об образовании". В отличие от школьных государственных образовательных стандартов, которые определяют: обязатель ...

Воспитание нравственных чувств у детей,как средство подготовки детей к обучению в школе
Воспитание нравственных чувств у детей дошкольного возраста тесно связано с формированием у них этических представлений через которые ребенок постигает ценности, без которых невозможна духовная жизнь общества и отдельного человека. Отсутствие таких представлений, незнание того, «что такое хорошо» и ...