Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Функции наглядности в учебнике математики. Методы работы с учебником
Не все виды наглядностей, применяемых иллюстраций имеют одинаковое значение для раскрытия изучаемых закономерностей. На процесс решения математической задачи существенное влияние оказывает схема и предметно-аналитическая картинка, в которой отражены количественные отношения искомого и данного. Выде ...

Использование метода проектов при обучении информатике в начальной школе
Таким образом, раскрыв содержание понятий: «метод», «метод проектов», « проект», «учебная тема», «мышление», «младший школьный возраст» и выявив особенности метода проектов, мы пришли к выводу о том, что использование данного метода на уроках информатики способствует более эффективному усвоению уча ...

Определение понятия речевой деятельности
Речь человека – сложившаяся исторически в процессе материальной преобразующей деятельности людей форма общения, опосредствованная языком. Речь является деятельностью, в процессе которой люди общаются друг с другом при посредстве языка. С помощью речи (внутренней и внешней) осуществляется также чело ...