Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Музыкальное образование как важный компонент развития школьника
Разные виды искусства обладают специфическими средствами воздействия на человека. Музыка же имеет возможность воздействовать на ребенка на самых ранних этапах. Доказано, что даже внутриутробный период чрезвычайно важен для последующего развития человека: музыка, которую слушает мать, оказывает влия ...

История возникновения игр-драматизаций в практике дошкольного образования
В истории развития педагогической мысли игра человеческого общества переплеталась с культовым поведением, магией и религией, была тесно связана со спортом, военными и иными тренировками, а также с искусством. Философы, этнографы, культурологи, психологи, педагоги, социологи разработали ряд положени ...

Опытно-экспериментальная работа по обучению самостоятельному чтению иноязычных художественных текстов учащихся старших классов
Разработанная нами научно-обоснованная модель обучения учащихся самостоятельному чтению художественных текстов лингвострановедческого содержания была апробирована в ходе опытно-экспериментальной работы в 10 классе школы №.28 Основная цель - проверка выдвинутой гипотезы исследования и определение ст ...