Определения функциональной последовательности и функционального ряда

Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: .

Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения . Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от , т.е. .

Опр.2. Функция называется предельной функцией последовательности .

Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении , но и функциональные свойства предельной функции .

Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной , заданной в области :

.

Такой ряд называется функциональным рядом.

Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция принимает числовое значение. Поэтому при каждом из X функциональный ряд превращается в числовой ряд.

Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном из, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x: . Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового: . Здесь - частичная сумма функционального ряда n-го порядка

.

Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Пример №1. Найти область сходимости ряда

.

Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:

Следовательно, при данный ряд сходится абсолютно, а при расходится.

Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и .

При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:

которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.

Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Возрастное психофизическое развитие ребенка и его особенности
В процессе жизни человек все время развивается, то есть изменяется в количественном и качественном отношении. При этом можно особо говорить о развитии организма человека: физическом, умственном, психическом, личностном; а также о развитии многих других его качеств и особенностей. Развитие человека ...

Приёмы раскрытия роли личности в истории. Итоги обучающего эксперимента
Экспериментальная методика включала 4 урока, различающиеся по целям, задачам, способам организации деятельности учащихся, по заданиям разного уровня сложности. Рассмотрим фрагменты экспериментальных уроков. Урок 1. Тема урока: «Два императора. Начало пути» Цели урока: 1. Познакомить учащихся с детс ...

Ознакомление с основами правового сознания детей дошкольного возраста
По рекомендации ЮНЕСКО (1974 г.) обучение правам человека, т. е. правовое воспитание, предлагается начинать еще на дошкольном уровне. Сегодня в отечественной дошкольной педагогике эта проблема только разрабатывается, вызывая интерес у исследователей и практиков. Для правового образования детей педа ...