Опр.1. Пусть дана последовательность функций:
, причем функции являются функциями одной переменной
и определены в некоторой области
. Такая последовательность называется функциональной и обозначается:
.
Пусть для каждого
эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения
. Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от
, т.е.
.
Опр.2. Функция
называется предельной функцией последовательности
.
Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении
, но и функциональные свойства предельной функции
.
Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной
, заданной в области
:
.
Такой ряд называется функциональным рядом.
Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении
функция
принимает числовое значение. Поэтому при каждом
из X функциональный ряд
превращается в числовой ряд.
Пусть дан функциональный ряд
и он сходится при каждом фиксированном
из
, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x:
. Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового:
. Здесь
- частичная сумма функционального ряда n-го порядка
.
Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Пример №1. Найти область сходимости ряда
.
Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:
Следовательно, при
данный ряд сходится абсолютно, а при
расходится.
Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при
и
.
При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:
которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.
Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.
Образование, педагогика, воспитание:
Реализация технологии физического воспитания в работе с детьми 5–6 лет с
задержкой психического развития
В РФ действуют специальные образовательные учреждения I-VШ видов. Для обучения и воспитания детей с ЗПР организуются учреждения VII вида: детский сад компенсирующего вида с приоритетным осуществлением квалифицированной коррекции в физическом и психическом развитии воспитанников; детский сад комбини ...
Особенности формирования фонетико-фонематической стороны речи в онтогенезе
Понимание ребенком речи окружающих развивается по законам образования условных рефлексов. На исходе первого года в результате многократного одновременного слышанья ребенком определенного звукосочетания и зрительного восприятия определенного предмета между этими возбуждениями (слуховым и зрительным) ...
Методические требования к художественным текстам для домашнего чтения на
старшей стадии обучения учащихся иностранному языку
Для успешной организации процесса обучения самостоятельному чтению представляется важным рассмотреть требования к текстам. Основу типологической общности текстового материала для домашнего чтения на средней стадии обучения иностранному языку, на наш взгляд должны составлять требования к: 1) жанру, ...