Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной
и определены в некоторой области
. Такая последовательность называется функциональной и обозначается:
.
Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения
. Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от
, т.е.
.
Опр.2. Функция называется предельной функцией последовательности
.
Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении , но и функциональные свойства предельной функции
.
Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной , заданной в области
:
.
Такой ряд называется функциональным рядом.
Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция
принимает числовое значение. Поэтому при каждом
из X функциональный ряд
превращается в числовой ряд.
Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном
из
, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x:
. Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового:
. Здесь
- частичная сумма функционального ряда n-го порядка
.
Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Пример №1. Найти область сходимости ряда
.
Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:
Следовательно, при данный ряд сходится абсолютно, а при
расходится.
Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и
.
При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:
которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.
Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.
Образование, педагогика, воспитание:
Справочная и научно-популярная литература и
методика их использования. Учебное оборудование по математике и методика
использования его в учебной работе
Обучение пользованию справочниками по математике, справочными таблицами и другой справочной литературой должно найти своё место при изучении математики в средней школе. Справочники необходимы по той причине, что для запоминания выбирается первостепенное, необходимое для изучения дальнейшего курса, ...
Психолого-лингвистические и дидактико-методические основы обучения чтению
как виду речевой деятельности
В психологической литературе речевая деятельность определяется как "реализация общественно-коммуникативной деятельности людей в процессе их вербального общения". Способами её реализации, или видами речевой деятельности, являются говорение, слушание, чтение и письмо. Как справедливо отмеча ...
Определения функциональной последовательности и функционального ряда
Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: . Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит о ...