Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной
и определены в некоторой области
. Такая последовательность называется функциональной и обозначается:
.
Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения
. Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от
, т.е.
.
Опр.2. Функция называется предельной функцией последовательности
.
Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении , но и функциональные свойства предельной функции
.
Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной , заданной в области
:
.
Такой ряд называется функциональным рядом.
Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция
принимает числовое значение. Поэтому при каждом
из X функциональный ряд
превращается в числовой ряд.
Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном
из
, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x:
. Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового:
. Здесь
- частичная сумма функционального ряда n-го порядка
.
Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Пример №1. Найти область сходимости ряда
.
Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:
Следовательно, при данный ряд сходится абсолютно, а при
расходится.
Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и
.
При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:
которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.
Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.
Образование, педагогика, воспитание:
Психолого-педагогическая характеристика игр - драматизаций
Игры-драматизации - это особые игры, в которых ребенок разыгрывает знакомый сюжет, развивает его или придумывает новый. Важно, что в такой игре ребенок создает свой маленький мир и чувствует себя хозяином, творцом происходящих событий. Он управляет действиями персонажей и строит их отношения. Ребен ...
Обучение дошкольников началам математики
Развитие элементарных математических представлений у дошкольников – особая область познания, в которой при условии последовательного обучения можно целенаправленно формировать абстрактное логическое мышление, повышать интеллектуальный уровень. В условиях систематического обучения ребенок может выде ...
Задачи и содержание обучения связной речи
Программа детского сада, предусматривает обучение диалогической и монологической речи. Работа по развитию диалогической речи направлена на формирование умений, необходимых для общения. Диалог – сложная форма социального взаимодействия. Участвовать в диалоге иногда бывает труднее, чем строить моноло ...