Определения функциональной последовательности и функционального ряда

Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: .

Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения . Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от , т.е. .

Опр.2. Функция называется предельной функцией последовательности .

Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении , но и функциональные свойства предельной функции .

Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной , заданной в области :

.

Такой ряд называется функциональным рядом.

Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция принимает числовое значение. Поэтому при каждом из X функциональный ряд превращается в числовой ряд.

Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном из, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x: . Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового: . Здесь - частичная сумма функционального ряда n-го порядка

.

Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Пример №1. Найти область сходимости ряда

.

Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:

Следовательно, при данный ряд сходится абсолютно, а при расходится.

Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и .

При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:

которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.

Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Игры и упражнения с предметами
В воспитании детей раннего возраста очень важным является обогащение и совершенствование чувственного опыта в процессе деятельности. Характерной для этой возрастной ступени деятельностью является деятельность предметная. Ее называют ведущей не только потому, что она преобладает, но и потому, что им ...

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для 0 , , N и выполнялось неравенство: . Доказательство необходимости Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область оп ...

Проблема сохранения здоровья подрастающего поколения
Конец XX столетия ознаменован целым комплексом глобальных изменений в социальной, экономической и духовной сферах общества, утратой ранее значимых ценностей и возникновением новых, формированием новой философии жизни. Человеческое сообщество захлестывает ускоряющийся динамизм социальных процессов, ...